Funciones de Variable Compleja (Curso 2021-22)
3º de Matemáticas y 3º de PCEO Matemáticas-Informática

(obligatoria, 6 créditos; código 1588)

PROFESOR	HORARIOS	AULA
Gustavo Garrigós	X y V 12:00-14:00 (ver web)	Aulario 2.06

PROGRAMA DEL CURSO (versión pdf)

Objetivos: introducción a la teoría clásica de Variable Compleja, estudiando con detalle las propiedades básicas de las funciones holomorfas, y sus aplicaciones más relevantes al Análisis Matemático.

1. El plano complejo

El cuerpo de los números complejos. Representaciones gráficas. La esfera de Riemann.

2. Derivación de funciones complejas

Derivación compleja y ecuaciones de Cauchy-Riemann. Reglas básicas de funciones holomorfas. Polinomios y funciones racionales.

3. Función exponencial y determinaciones del logaritmo

Funciones exponencial, seno y coseno. Determinaciones continuas del argumento. Ramas holomorfas del logaritmo.

4. Integración compleja y teorema de Cauchy en el disco

Integral de línea compleja, regla de Barrow y existencia de primitivas. El teorema de Cauchy-Goursat. Fórmula de Cauchy en el disco y aplicaciones.

5. Series de potencias y propiedades locales de las funciones holomorfas

Series de potencias y funciones analíticas. Radios de convergencia. Propiedades locales: ceros de funciones analíticas, principio del módulo máximo...

6. Teorema homológico de Cauchy

Índice de una curva. Homología de ciclos. Teorema homológico y caracterización de dominios simplemente conexos.

7. Singularidades aisladas de funciones holomorfas

Ceros y singularidades de funciones holomorfas. Desarrollos en serie de Laurent.

8. El teorema de los residuos y sus consecuencias

Teorema de los residuos y sus aplicaciones. Principio del argumento, teorema de Rouché y aplicaciones. Teoremas de la aplicación abierta y la función inversa.

BIBLIOGRAFÍA

referencias básicas

E.M. Stein, y R. Shakarchi, Complex analysis, Princeton Univ Press, 2003.

Francisco Javier Pérez González, Curso de Análisis Complejo, Univ Granada, 2004 (apuntes en la red)

Gabriel Vera, Lecciones de análisis complejo, Electrolibris, 2013 (apuntes de teoría y libro de problemas)

J. Brown y R. Churchill, Complex Variables and Applications, McGraw Hill, 1984

D. Zill, P. Shanahan, A first course in complex analysis with applications, Jones & Bartlett, 2003

referencias avanzadas

L.Ahlfors, Complex analysis, McGraw-Hill 1979.

J.B. Conway, Functions of one complex variable, Springer 1978.

W. Rudin, Análisis real y complejo, 3ª ed., McGraw-Hill, 1988

TUTORÍAS

PROFESOR	HORARIOS	DESPACHO
Gustavo Garrigós	Martes 15:00-17:45 (concertar cita por email)	despacho 1.10

Para consultas breves, podéis escribir a:
gustavo.garrigos@um.es

EVALUACIÓN

EXAMEN	Fechas
Convocatoria de dic-enero	Lunes, 17 enero 2022 (m)
Convocatoria de mayo	Lunes, 23 mayo 2022 (m)
Convocatoria de julio	Jueves, 30 de junio 2022 (t)

NOTA: Fecha y lugar  de los exámenes fijados por la Facultad de Matemáticas

Calificación final: Se obtendrá de la fórmula

max { 0’8EF + 0’2TP, EF }

donde

EF = nota examen final

TP = nota media de los tests de problemas

Nota: Esta regla se aplicará en la primera convocatoria a la que se presente el alumno (enero, junio o julio). En las siguientes convocatorias el 100% de la calificación final se obtendrá con la nota del examen. Adicionalmente, durante el curso se valorará positivamente la resolución de ejercicios en la pizarra por parte de los alumnos, y cuando así lo indique el profesor, la entrega por escrito de algunos ejercicios destacados o su presentación oral.

Soluciones tests: test 1, test 2, test 3

Soluciones examen: enero , mayo

HOJAS DE EJERCICIOS

Hoja 1	El plano complejo
Hoja 2	La derivada compleja
Hoja 3	Exponencial y logaritmos
Hoja 4	Fórmula integral de Cauchy
Hoja 5	Series de potencias
Hoja 6	Teorema homológico de Cauchy
Hoja 7	Singularidades aisladas y series de Laurent
Hoja 8	Teorema de los residuos

ENLACES DE INTERÉS

· Apuntes y ejercicios de Bernardo Cascales (Univ de Murcia)

· Curso de Análisis Complejo, Francisco Javier Pérez González (Univ Granada)

· Apuntes y ejercicios de Dragan Vúkotic (Univ Autónoma Madrid)

· Apuntes de Óscar Blasco (Univ de Valencia)

VISUAL COMPLEX ANALYSIS

· Möbius transforms revealed: video

Última modificación: 26 de mayo de 2022