Variable Real (Curso 2008-09)
4º de Matemáticas

 (asignatura optativa, 8 créditos; código: 14455)

PROFESORES	HORARIOS	AULA
Gustavo Garrigós (Despacho C-XV 308)	Grupo 81: L-J 11:30	C-XV 102

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1. PROGRAMA

Objetivos: El curso ofrece una introducción a la teoría clásica de series e integrales de Fourier y su relación con distintas áreas del Análisis Matemático, entre ellas la resolución de ecuaciones en derivadas parciales. Con estos ejemplos como modelo, se desarrollarán las herramientas básicas para el tratamiento del problema central de nuestro estudio: la convergencia, bien puntual o en norma, de operadores clásicos y sus posibles aplicaciones.

1. Repaso de teoría de la medida y espacios L^p.

La medida de Lebesgue en R; integral de Lebesgue y teoremas de convergencia de integrales.

2. Espacios L^p.

Propiedades de los espacios L^p: desigualdades clásicas, completitud, aproximación por funciones suaves, dualidad. Espacios ℓ^p de sucesiones.

3. Convoluciones y resultados generales de convergencia.

Nociones de convergencia: puntual, uniforme, en medida y en norma L^p. Convolución: propiedades básicas, desigualdad de Young.

Convergencia de aproximaciones de la identidad. El Teorema de diferenciación de Lebesgue y el operador maximal de Hardy-Littlewood.

4. Espacios de Hilbert.

Producto interior. Sistemas y bases ortonormales: desigualdad de Bessel. Teorema de Riesz-Fischer. Proyecciones ortogonales

y dualidad. Ejemplos: sistema trigonométrico; sistema de Haar; polinomios ortogonales en L²[0,1].

5. Series de Fourier.

Series de Fourier de funciones integrables: lema de Riemann-Lebesgue. Núcleos de Dirichlet y Fejér; fenómeno de Gibbs,

sumabilidad de Cesàro y de Abel. Convergencia puntual y uniforme de las series de Fourier. Aplicaciones.

6. Transformada de Fourier.

La transformada en L¹(R): propiedades y fórmula de inversión. La transformada en L²(R): teorema de Plancherel.

Aplicaciones: el teorema de muestreo de Shannon. La ecuaciones del calor, de ondas y de Schrödinger: obtención formal de

soluciones y convergencia al dato inicial.

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2. BIBLIOGRAFÍA

Textos recomendados:

J. Cerdà, “Análisis Real”, Ed. Univ. de Barcelona, 1996

R. Churchil y J. Brown, “Fourier series and boundary value problems”. Mc-Graw Hill

H. Dym y H.P. McKean, “Fourier series and integrals”. Academic Press, 1972

G.B. Folland, “Fourier Analysis and its Applications”. Brooks Cole 1992.

G.B. Folland, “Real Analysis”. Wiley Interscience Series, 1992

T. Körner, “Fourier Analysis”, Cambridge Univ Press 1988.

R. Seeley, “Introducción a las series e integrales de Fourier”. Ed. Reverté, 1970

E.M. Stein, y R. Shakarchi, “Fourier analysis”. Princeton University Press, 2003

E.M. Stein, y R. Shakarchi, “Real Analysis”. Princeton University Press, 2004

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3. TUTORÍAS

PROFESOR	HORARIOS	DESPACHO
Gustavo Garrigós	Por cita previa	C-XV 308

Para consultas breves, podéis escribir a:
gustavo.garrigos ‘at’ uam.es

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4. EVALUACIÓN

Fecha y lugar de los exámenes fijada por la Facultad de Ciencias.

EXAMEN	Fecha
CONVOCATORIA DE FEBRERO	Miércoles, 28 de enero de 2009 (Hora 15:00, Lugar: C-0-312)
CONVOCATORIA DE SEPTIEMBRE	Martes, 1 de septiembre de 2009 (tarde)

Calificación final: Se obtendrá de la fórmula

máx{ EF, 0´4EF + 0´6HP}

donde EF=nota examen final,  HP= calificación hojas de problemas. La hojas de problemas y las fechas de entrega se publicarán en la página web, pudiendo pedírsele a los alumnos la presentación oral de ejercicios en la pizarra.

Calificaciones finales de febrero: problemas+examen.

Revisión: jueves 5/2/09 a las 11:30, en C-XV 102.

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5. EJERCICIOS

Las hojas de problemas pueden visualizarse con el programa  Acrobat Reader.
Acrobat Reader es un programa de visualización de archivos con extensión PDF que puede obtenerse gratuitamente en la página   http://www.adobe.es/products/acrobat/download/readstep.html.

		LISTADO DE EJERCICIOS POR ALUMNO	FECHA DE ENTREGA
Hoja 1	Repaso teoría de la medida
Hoja 2	Espacios L^p
Hoja 3	Convolución y aproximaciones de la identidad
Hoja 4	Espacios de Hilbert
Hoja 5	Series de Fourier
Hoja 6	Transformada de Fourier
Hoja 7

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6. ENLACES RELACIONADOS CON EL CURSO

· Un buen libro online sobre teoría de la medida: Bruckner, Bruckner, Thomson, "Real Analysis".

· Páginas de cursos anteriores:

§ 2004/05 Fernando Soria

§ 2005/06 Eugenio Hernández

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Última modificación: 19 de diciembre de 2008.