Las ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell se pueden formular de distintas maneras. Se pueden formular de forma integral o de forma diferencial y también se pueden expresar dependiendo de si la onda se propaga por el vacío o por un material.

Las ecuaciones en forma de integrales en el vacío son de la forma:

ley de Gauss para electricidad $\oint_{\partial V} \vec{E}\cdot d\vec{s} = \frac{Q}{\varepsilon_0} = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_{V}\rho dv$

ley de Gauss para magnetismo $\oint_{\partial V} \vec{B}\cdot d\vec{s} = 0$

ley de inducción de Faraday $\oint_{\partial S} \vec{E}\cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi_S}{dt}=-\frac{d}{dt} \int_S \vec{B}\cdot d\vec{s}$

ley de Ampere $\oint_{\partial S} \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0 I = \mu_0 \int_S \vec{J}\cdot d\vec{s}$

donde $\vec{E}$ es el campo eléctrico, $\vec{B}$ es el campo magnético, $\vec{J}$ es la corriente de carga que, en parte, genera el campo magnético, $Q$ es la carga estática que genera el campo eléctrico, $\varepsilon_0$ es la constante dieléctrica del vacío y $μ 0$ es la permeabilidad magnética del vacío.

$V$ es un volumen cualquiera dentro del cual está la carga $Q$ , $\partial V$ es la superficie cerrada que rodea el volumen $V$ , $S$ es una superficie no cerrada y $\partial S$ es la curva cerrada que delimita la superficie $S$ .

Las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial son:

Las ecuaciones de Maxwell son un total de ocho ecuaciones escalares (tres para cada uno de los rotacionales de los campos eléctrico y magnético y una para las divergencias).

Maxwell reescribió estas ecuaciones integrales en forma diferencial haciéndolas compatibles. De este modo apareció la llamada corriente de desplazamiento definida como

$\vec{J}_D = \varepsilon_0 \frac{\partial\vec{E}}{\partial t}$

Entonces las ecuaciones en el sistema internacional (de forma diferencial) son:

$\displaystyle \div{E}=\frac{\rho}{\varepsilon},$ Ley de Gauss:

ü $\vec{E}$ - Campo eléctrico existente en el espacio, creado por las cargas.

ü $\rho$ - Densidad de cargas existentes en el espacio.

ü $\varepsilon$ - Permitividad eléctrica, característica de los materiales dieléctricos.

Ley de Faraday:

$\displaystyle \vec{\nabla}\times\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t},$

ü $\vec{B}$ - Campo magnético existente en el espacio, creado por las corrientes.

Ley de Gauss para el campo magnético:

$\displaystyle \div{B}=0,$

ü Esta ley expresa la inexistencia de monopolos magnéticos en la naturaleza, es decir, esta es la explicación de que al romper un imán obtengamos dos imanes, y no dos medio-imanes.

Ley de Ampère-Maxwell:

$\displaystyle \vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu\vec{J},$

ü $\mu$ - Permeabilidad magnética, característica de los materiales paramagnéticos.

ü $\vec{J}$ - Densidad de corriente, mide el flujo de cargas por unidad de tiempo y superfície y es igual a $\vec{J}=\rho\vec{v}$ .

que es la ley de Ampère. Sin embargo encontró que esta última ecuación, juntamente con la ley de Faraday conducían a un resultado que violaba el principio de conservación de la carga, con lo cual decidió modificarla para que no violase este principio dándole la forma

$\displaystyle \vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu\vec{J}+\mu\varepsilon\frac{\partial \vec{E}}{\partial t},$

que ahora se conoce como ley de Ampère modificada o ley de Ampère-Maxwell. En la cual el término introducido es la corriente de desplazamiento.

Sin embargo estas ocho ecuaciones no son suficientes para resumir todo el conocimiento de la electrodinámica clásica, nos hace falta una ecuación más, esa es la expresión de la fuerza de Lorentz:

$\displaystyle \vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}).$

Para medios materiales se definen los campos $\vec{D}$ y $\vec{H}$ gracias a los cuales las ecuaciones de Maxwell pueden expresarse de manera independiente al medio en el que están inmersos los campos.

Estos campos estan relacionados con los campos eléctricos y magnéticos mediante las relaciones constitutivas (aquí se dan para medios isotrópicos homogéneos lineales):

$\begin{equation*}\begin{aligned} \vec{D}&=\varepsilon\vec{E}\\ \vec{H}&=\frac{\vec{B}}{\mu}\nonumber \end{aligned}\end{equation*}$

$\vec{D}$ - Campo dieléctrico que resume los efectos eléctricos de la materia.
$\vec{H}$ - Campo magnético que resume los efectos magnéticos de la materia.

Las relaciones constitutivas para el vacío se definen como:

$\vec B = \mu_0 \vec H$ $\vec D = \varepsilon_0 \vec E$

De este modo las ecuaciones de Maxwell quedan así:

Ley de Gauss: $\nabla \cdot \vec D =\rho$
Ley de Faraday: $\nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t}$
Ley de Gauss para el campo magnético: $\nabla \cdot \vec B = 0$
Ley de Ampère-Maxwell: $\nabla \times \vec H = \vec{J} + \frac{\partial \vec D}{\partial t}$

donde ahora $ρ$ y $\vec J$ corresponden a la carga y densidad de corriente libres, $\vec D$ representa el vector desplazamiento eléctrico y $\vec H$ el campo magnético. Esta versión de las ecuaciones es equivalente a la del vacío, pero para ser completas, deben ser suplementadas con relaciones constitutivas, propias de cada medio material:

$\vec D = \vec D(\vec E, \vec B)$
$\vec H = \vec H(\vec E, \vec B)$
$\vec J = \vec J(\vec E, \vec B)$

Cuando estamos en el vacío podemos suponer que no existen fuentes (es decir, que y ) y las ecuaciones de Maxwell nos quedan de la forma:

$\begin{equation*}\begin{aligned} \div{E}&=0\ ,\\ \vec{\nabla}\times\vec{E}&=-... ...0}\mu_{0}\frac{\partial E}{\partial t}\ ,\nonumber \end{aligned}\end{equation*}$

En este caso se puede demostrar que tanto el campo $\vec{E}$ como el campo $\vec{B}$ toman la forma de una ecuación de ondas con una velocidad $1/\sqrt{\varepsilon_{0}\mu_{0}}=c$ igual a la velocidad de la luz, de donde Maxwell extrajo la hipótesis de que la luz no eran más que ondas electromagnéticas propagándose en el vacío.

A partir de estas cuatro ecuaciones se deduce la óptica electromagnética.