Si tenemos N particulas cuya energia total es E:
¿Cómo se distribuye esta energia entre ellas si la intercambian de forma aleatoria?
¿Lo haran de forma que todas tengan la misma energia?
Como ya vimos en el apartado anterior la forma en que la energia se distribuira es aquella que se corresponda con la situacion mas probable.
El problema que nos vamos a plantear es pues un problema de combinatoria:
Si lo desea puede estudiar la propuesta realizando la siguiente experiencia.
Hemos encontrado de una forma cualitativa cómo un sistema de partículas se reparte la energia de acuerdo con una ley exponencial decreciente con la energia, a mayor energia menor número de partículas. Hablando en términos de probabilidades la probabilidad de encontrarnos una partícula con una energía E, suponiendo que dicha partícula se encuentra en equilibrio con un sistema de partículas a temperatura T, disminuye exponencialmente con la energía siendo la probabilidad proporcional a la siguiente función:
Donde K es una constante que denominamos constante de Boltzmann. A este factor exponencial se le denomina factor de Boltzmann.
Veamos cómo nos encontramos con el factor de Boltzmann en el caso de un sistema de partículas sometidas a un campo gravitatorio. La simulación nos muestra una columna donde podemos situar un gas ideal sometido a un campo gravitatorio como sucede con nuestra atmosfera.
La presión que tenemos en la superficie de la Tierra es debida al peso, por unidad de superficie, de la columna de aire que se encuentra sobre nosotros. Las partículas, debido a la gravedad se distribuyen de forma no uniforme, el número de partículas disminuye con la altura, veamos en qué forma.
Analicemos un elemento infinitesimal de esta columna, sea dh su espesor, la diferencia de presion entre la parte superior e inferior sera igual al peso de las particulas que contenga por unidad de seccion:
Donde m es la masa de una molecula, n el numero de moleculas por unidad de volumen, g la aceleracion de la gravedad y dh el espesor del elemento infinitesimal que estamos estudiando. Teniendo en cuenta la ecuacion de los gases ideales: P = nKT, tomando diferenciales en esta expresion y sustituyendo en la anterior nos queda:
Funcion diferencial cuya solucion es una funcion de h que derivada nos de la misma funcion salvo un factor, este tipo de funciones son las funciones exponenciales.
Nos aparece el factor de Boltzmann nuevamente, en este caso es la energia potencial la que nos encontramos en el exponente, el numero de particulas por unidad de volumen disminuye exponencialmente con la altura.
Consideremos un gas ideal confinado dentro de un recipiente de volumen V y en equilibrio a la temperatura absoluta T (**). Fijemonos en una molecula del gas, cual sera la probabilidad de que la encontremos con una velocidad comprendida entre v y v+dv ?
Consideremos las siguientes magnitudes :
F(v) dv numero medio de moleculas, por unidad de volumen, que
tienen el modulo de la velocidad comprendido entre v y v+dv.
f(v) dv numero medio de moleculas, por unidad de volumen, que tienen una velocidad comprendida entre v y v+dv.
Podemos obtener F(v) dv sumando todas las moleculas que tienen velocidades cuyos modulos estan en ese intervalo independientemente de su direccion. Asi pues:
La funcion f(v) tiene un valor constante a lo largo de la integral y por lo tanto puede salir fuera. La integral resultante representa simplemente el volumen en el espacio de velocidades de una corteza esferica de radio v y espesor dv y de acuerdo con lo visto en el apartado anterior:
Tenido en cuenta que el elemento de volumen en el espacio de velocidades es una corteza esferica de radios v y v+dv y que la funcion de distribucion depende solo del modulo de la velocidad no de su direccion, es decir f(v) = f(v), nos queda.
Donde hemos utilizado la funcion de Boltzmann con la energia cinetica como la energia debida a una cierta velocidad.
