0.2.4.1 - El muelle
0.2.4.2 - Reflexiones sobre el movimiento armónico: frecuencia, período
0.2.4.3 - Condiciones iniciales
0.2.4.4 - ¿Qué significado tiene ω?

Un caso interesante de fuerzas son las llamadas elásticas que tienen una expresión sencilla, son proporcionales y de sentido opuesto al desplazamiento

Un caso representativo de este tipo de fuerzas es el muelle dentro de un rango de estiramientos. Si tomamos el origen de coordenadas en la posición de equilibrio del muelle, podremos escribir.

En donde hemos llamado k a la constante de proporcionalidad del muelle.

Apliquemos nuestra ley del movimiento de Newton a este caso, en nuestra expresión sustituimos la fuerza por la expresión correspondiente teniendo en cuenta que estamos en una dimensión y en esta situación los vectores los podemos considerar como números con signo.

Nuestro “problema ya está resuelto” ahora se trata de un problema matemático, para ello lo primero es saber "leer" la expresión: ¿qué función derivada dos veces me da la misma función cambiada de signo? Las funciones armónicas seno y coseno tienen esa propiedad, si tomamos para x una expresión en función del tiempo del tipo:

es una posible solución de la ecuación diferencial siendo

Esta frecuencia la denominamos frecuencia propia del sistema o frecuencia de resonancia. Podemos ver una simulación de una masa sujeta a un muelle en:

El modo de saber que esta expresión para x(t) es solución de la ecuación diferencial es sustituyéndola en esta. Si derivamos una vez tendremos:

en la que tenemos en cuenta que estamos derivando una función, el coseno, cuyo argumento no es directamente el tiempo, t, sino la frecuencia angular ω por el tiempo t, la derivada del coseno nos da menos el seno y finalmente la derivada de ω t respecto al tiempo nos da ω. Derivando otra vez respecto al tiempo obtendremos:

Realizando las sustituciones pertinentes:

que se cumple para el valor dado para ω, la frecuencia del movimiento armónico resultante depende de la constante del muelle y de la masa fija a este muelle.

El desplazamiento de la masa unida al muelle podemos representarla como la componente y de un fasor que gira con velocidad angular ω. En el caso de la figura el movimiento de la masa viene representado por la ecuación:

En el instante inicial, t = 0, la masa se encontraba en el punto de equilibrio, y = 0, como el seno de cero es cero esta es la función que nos representa bien el fenómeno bajo estudio.

En el instante inicial, para t = 0, la masa debe tener velocidad hacia arriba pues en ese instante no había fuerzas ya que se encontraba en la posición de equilibrio, el peso de la masa se equilibra con la fuerza que ejerce el muelle, si no hubiera habido una velocidad inicial la masa habría continuado en reposo.

Para que el seno vuelva a ser cero en la misma situación que la inicial ω*t tiene que valer 2*π luego si ω vale uno, el tiempo que tiene que transcurrir será 2*π segundos, tienen que transcurrir unos 6.28 segundos para tener una oscilación completa.

Por una regla de tres obtendremos que las oscilaciones que se realizan en este caso en un segundo serán:

En un segundo ha realizado una pequeña parte de la oscilación, veamos ahora si ω valiese 2*π cuántas oscilaciones realiza la masa unida al muelle

Como vemos ω viene íntimamente relacionado con el número de oscilaciones en un movimiento periódico, por segundo, se le denomina frecuencia angular.

Como lo del 2*π puede resultar poco simple, se suele utilizar en lugar de la frecuencia angular, sencillamente la frecuencia f si definimos esta nueva magnitud así:

Si la frecuencia es uno, tardará un segundo en realizar una oscilación, si la frecuencia es dos tardará medio segundo, si la frecuencia es tres tardará un tercio en realizar una oscilación. Si comenzamos a contar el tiempo en t=0, se realiza una oscilación cuando la frecuencia angular por el tiempo es igual a 2*π, este hecho nos está pidiendo a gritos que definamos una nueva magnitud: