## Ecuación de Laplace en rectángulos

Contorno inferior f(x)=sin(%pi*x), resto nulo

u(x,y):=sin(%pi*x)*sinh(%pi*(1-y))/sinh(%pi);

wxplot3d(u(x,y), [x,0,1], [y,0,1])$

plot3d(u(x,y), [x,0,1], [y,0,1],[elevation,0],[colorbox,true],
[palette, get_plot_option(palette,3)])$

Contorno inferior f(x)=2*x si 0<x<1/2, f(x)=2*(1-x), si 1/2<x<1 
(función con forma de pico)

para dibujar este caso tengo que calcular los coeficientes b_n de la sol general...

declare(n,integer);

ratprint:false;

integrate(2*x*sin(n*%pi*x), x, 0, 1/2)+integrate(2*(1-x)*sin(n*%pi*x), x,1/2,1);

ratsimp(%);

b(n):=((4*sin((%pi*n)/2))/(%pi^2*n^2))*2/(sinh(n*%pi));

u(x,y):=sum(b(n)*sin(%pi*n*x)*sinh(%pi*n*(1-y)),n,1,10);

wxplot3d(u(x,y), [x,0,1], [y,0,1])$

plot3d(u(x,y), [x,0,1], [y,0,1],[elevation,0],[colorbox,true],
[palette, get_plot_option(palette,3)])$

En estos dibujos se aprecian 2 propiedades importantes de la ec Laplace:
- las soluciones son C^infty (aunque el dato de frontera no lo sea)
- principio del maximo: ambos max u(x,y) y min u(x,y) se alcanzan en la frontera del dominio

## Ejercicio 3

contornos verticales aislados, horizontal inf nulo, y horizontal sup f(x)=20+15 sin^2(pi x)

u(x,y):=55/2*y-15/2*sinh(2*%pi*y)/(sinh(2*%pi))*cos(2*%pi*x);

wxplot3d(u(x,y), [x,0,1], [y,0,1])$

plot3d(u(x,y), [x,0,1], [y,0,1],[elevation,0],[colorbox,true],
[palette, get_plot_option(palette,3)])$