Variable Real (Curso 2009-10)
4º de Matemáticas

 (asignatura optativa, 8 créditos; código: 14455)

PROFESORES	HORARIOS	AULA
Gustavo Garrigós (Despacho C-XV 308)	Grupo 81: L-J 11:30	C-XV 102

---

1. PROGRAMA

Objetivos: El curso ofrece una introducción a la teoría clásica de series e integrales de Fourier y su relación con distintas áreas del Análisis Matemático, entre ellas la resolución de ecuaciones en derivadas parciales. Con estos ejemplos como modelo, se desarrollarán las herramientas básicas para el tratamiento del problema central de nuestro estudio: la convergencia, bien puntual o en norma, de operadores clásicos y sus posibles aplicaciones.

1. Repaso de teoría de la medida y espacios L^p.

La medida de Lebesgue en R; integral de Lebesgue y teoremas de convergencia de integrales.

2. Espacios L^p.

Propiedades de los espacios L^p: desigualdades clásicas, completitud, aproximación por funciones suaves, dualidad. Espacios ℓ^p de sucesiones.

3. Convoluciones y resultados generales de convergencia.

Nociones de convergencia: puntual, uniforme, en medida y en norma L^p. Convolución: propiedades básicas, desigualdad de Young.

Convergencia de aproximaciones de la identidad. El Teorema de diferenciación de Lebesgue y el operador maximal de Hardy-Littlewood.

4. Espacios de Hilbert.

Producto interior. Sistemas y bases ortonormales: desigualdad de Bessel. Teorema de Riesz-Fischer. Proyecciones ortogonales

y dualidad. Ejemplos: sistema trigonométrico; sistema de Haar; polinomios ortogonales en L²[0,1].

5. Series de Fourier.

Series de Fourier de funciones integrables: lema de Riemann-Lebesgue. Núcleos de Dirichlet y Fejér; fenómeno de Gibbs,

sumabilidad de Cesàro y de Abel. Convergencia puntual y uniforme de las series de Fourier. Aplicaciones.

6. Transformada de Fourier.

La transformada en L¹(R): propiedades y fórmula de inversión. La transformada en L²(R): teorema de Plancherel.

Aplicaciones: el teorema de muestreo de Shannon, resolución de EDPs y convergencia al dato inicial.

·

· Programa en pdf

Volver al comienzo

---

2. BIBLIOGRAFÍA

Textos recomendados:

J. Cerdà, “Análisis Real”, Ed. Univ. de Barcelona, 1996

R. Churchil y J. Brown, “Fourier series and boundary value problems”. Mc-Graw Hill

H. Dym y H.P. McKean, “Fourier series and integrals”. Academic Press, 1972

G.B. Folland, “Fourier Analysis and its Applications”. Brooks Cole 1992.

G.B. Folland, “Real Analysis”. Wiley Interscience Series, 1992

T. Körner, “Fourier Analysis”, Cambridge Univ Press 1988.

R. Seeley, “Introducción a las series e integrales de Fourier”. Ed. Reverté, 1970

E.M. Stein, y R. Shakarchi, “Fourier analysis”. Princeton University Press, 2003

E.M. Stein, y R. Shakarchi, “Real Analysis”. Princeton University Press, 2004

Volver al comienzo

---

3. TUTORÍAS

PROFESOR	HORARIOS	DESPACHO
Gustavo Garrigós	Por cita previa	C-XV 308

Para consultas breves, podéis escribir a:
gustavo.garrigos ‘at’ uam.es

Volver al comienzo

---

4. EVALUACIÓN

Fecha y lugar de los exámenes fijada por la Facultad de Ciencias.

EXAMEN	Fecha
CONVOCATORIA DE FEBRERO	Martes, 2 de febrero de 2010 (mañana)
CONVOCATORIA DE SEPTIEMBRE	Viernes, 3 de septiembre de 2010 (tarde)

Calificación final: Se obtendrá de la fórmula

máx{ EF, 0´4EF + 0´6HP}

donde EF=nota examen final,  HP= calificación hojas de problemas.

Las hojas de problemas se entregarán periódicamente en clase, pudiendo pedirse a los alumnos la presentación oral de ejercicios en la pizarra.

Notas finales evaluación continua.

Calificaciones finales curso.

Examen febrero, soluciones.

Revisión: jueves 4/2/10 a 14:30.

Volver al comienzo

---

5. EJERCICIOS

Las hojas de problemas pueden visualizarse con el programa  Acrobat Reader.

Hoja 1	Repaso teoría de la medida
Hoja 2	Espacios L^p
Hoja 3	Convolución y aproximaciones de la identidad
Hoja 4	Espacios de Hilbert
Hoja 5	Series de Fourier
Hoja 6	Transformada de Fourier

---

6. ENLACES RELACIONADOS CON EL CURSO

· Páginas de cursos anteriores:

§ 2004/05 Fernando Soria

§ 2005/06 Eugenio Hernández

· Breve resumen sobre teoría de la medida: J. Hunter (U. California, Davis)

· Resumen sobre Imágenes y Transformada de Fourier: S. Lehar .

· Math Archives: Enlaces sobre transformada de Fourier y aplicaciones.

· Libro sobre procesamiento digital de señales: S. Smith.

Volver al comienzo

---

Última modificación: 2 de febrero de 2010.