Caos Gravitatorio.

 Sistema de asteroides.

INTRODUCCIÓN

La simulación que hemos planteado pretende describir el sistema físico formado por los asteroides que se encuentran en el sistema solar entre las órbitas de Marte y Júpiter. La razón es que dicho sistema se trata de un ejemplo “indirecto” de caos gravitatorio.

Estos asteroides, aproximadamente unos 40.000, son cuerpos cuyo tamaño varía desde rocas de 1 km de diámetro hasta planetoides de 1000 km de diámetro, se distribuyen de forma irregular.  Giran en torno al Sol en la región de 550 millones de kilómetros conocida como cinturón de asteroides, situada entre las órbitas de Júpiter y de Marte. Se asume que los asteroides son residuos que han sobrevivido al paso del tiempo desde la creación del sistema solar. Se comprueba que los periodos de revolución de dichos asteroides varían entre ¼ y ½ del periodo de Júpiter, que es de 12 años, dependiendo de su distancia al Sol. Es interesante mencionar que el asteroide de mayor tamaño y el primero en ser descubierto es Ceres, cuyo radio es de 950 km.

Al igual que el resto de los planetas, estos asteroides se mueven debido a la fuerza de atracción que el Sol ejerce sobre ellos, sin embargo, para estudiar el caso de caos gravitatorio, no podemos despreciar el efecto que produce la presencia de Júpiter, puesto que se trata de un planeta con gran masa y muy cercano al cinturón de asteroides. También es recomendable para comprobar dicho efecto, tener en cuenta, por su cercanía, la influencia del planeta Marte en los asteroides.

Daniel Kirkwood estudió en 1867 la distribución radial de los asteroides y una de las características más interesantes que descubrió fue que esta distribución radial no era uniforme, sino que a determinadas distancias del Sol, el número de asteroides en orbitas disminuye considerablemente. A estas zonas de menor densidad de asteroides se las denomina como huecos de Kirkwood. Experimentalmente, se comprueba que estos huecos tienen una relación directa con los cocientes del periodo orbital de Júpiter entre el de los asteroides. Las zonas en las que el número de asteroides disminuye son zonas en las que el cociente de los dos periodos es un número racional simple: 3/2, 2/1, 5/2, 3/1, 7/2, 4/1, …

RESOLUCIÓN

Las constantes del problema las determinamos utilizando la la tercera Ley de Kepler, que establece una relación entre los periodos de revolución de los planetas y sus distancias al Sol:

los cuadrados de los periodos de revolución de los planetas son proporcionales a los cubos de sus distancias medias al Sol

T²=aR³

donde a es una constante de proporcionalidad. Determinamos así la constante de gravitación universal G, a partir de los datos de Júpiter, que es el planeta al que le hemos asignado posiciones y masa arbitrarias:

G=xj³*Ms*(2π)²/Tj²

A través de la ley de gravitación universal podremos conocer la fuerza ejercida sobre cada uno de los asteroides debida al Sol, a Marte y a Júpiter:

F=-G*M*m/r²

con ella hallaremos la aceleración que posee cada uno de los asteroides de la que, mediante integración numérica obtenemos las ecuaciones del movimiento para cada uno de los asteroides.

Nos interesa hallar el cociente entre el periodo de Júpiter y el de cada uno de los asteroides. El método que utilizamos para obtener de forma aproximada el periodo de cada asteroide consiste en calcular el ángulo que barre cada asteroide en un intervalo de tiempo, en nuestro caso 6 periodos de Júpiter.

La evolución de la simulación consta de tres pasos que describimos a continuación:

   - Simula la dinámica del problema. Calcula las posiciones de los diferentes asteroides y de los planetas mediante la integración numérica a partir de la expresión del campo gravitatorio total que actúa sobre cada uno de los cuerpos. Como lo que nos interesa es una situación más estable que la del comienzo, el programa realiza en primer lugar estos cálculos durante un intervalo de tiempo bastante elevado, unos 100 periodos de Júpiter por ejemplo, antes de proceder con el resto de la simulación.

   -En segundo lugar, el programa entra en el algoritmo  cuya finalidad es deshacerse de los asteroides que se alejan de las condiciones que nos interesa estudiar. Esto es, elimina asteroides que se han acercado demasiado al Sol o a los planetas a fin de evitar errores numéricos, así como elimina asteroides que se han alejado del sistema que estamos estudiando, evitando así que el programa malgaste tiempo de cálculo con esos asteroides.

   -En un tercer paso de la evolución nos centramos en el cálculo de los periodos de los asteroides con el fin de poder estudiar el fenómeno de los huecos de Kirkwood en función del cociente de periodos de Júpiter y de los asteroides y ver cual es su relación.

Estos tres pasos se repetirán con una salvedad, a partir de ahora, el intervalo de tiempo durante el cual transcurre el primer paso es mucho menor ya que, una vez consguida una situación más o menos estable, nos interesa seguir de cerca la evolución del programa.

Fig. 3. Distribución de asteroides como función del periodo orbital de Júpiter entre en periodo orbital de los asteroides, que muestra los huecos de Kirkwood.

Situación estable

Conforme vamos dejando que el programa evolucione vemos que, en primer lugar, el número de asteroides de partida se reduce considerablemente. Así pues, debemos de esperar a que dicha cifra se quede más o menos constante para poder sacar conclusiones.

En este estado de “estabilidad” es cuando podemos comenzar a analizar los resultados que obtenemos. Para empezar, si observamos las gráficas correspondientes a los momentos de mayor estabilidad, caeremos en la cuenta de que, tal y como nos anticipaba la teoría propuesta por Kirkwood, encontramos zonas radiales en las que el número de asteroides es considerablemente menor que en el resto. Del mismo modo podemos comprobar que dichas zonas se corresponden precisamente con las distancias a las cuales los periodos que les corresponden a los asteroides son fracciones simples del periodo de Júpiter, lo cual nos hace pensar en un fenómeno resonante cuyo resultado tras largo tiempo actuando sea desestabilizar a dicho asteroides enviándolos fuera del cinturón. Las resonancias más débiles sólo llevan a un vaciamiento de asteroides, mientras que otras resonancias más fuertes causan lo contrario es decir la presencia de una familia de asteroides.

            Conclusión

Hemos comenzado calificando la dispareja distribución radial de los asteroides como un ejemplo “indirecto” de caso gravitatorio. ¿Por qué? Cuando saltamos del problema de dinámico de dos cuerpos a resolver las ecuaciones del movimiento para un sistema formado  por tres o más, nos damos cuenta de que las soluciones analíticas para dichos casos son, en el más sencillo de los sistemas propuestos (tres cuerpos, uno de ellos con masa despreciable frente a los otros dos), tan complicadas que resultan imposible de resolver. Cuando hablamos del movimiento en un problema de “muchos cuerpos”, la resolución analítica es infinitamente más complicada y podemos encontrarnos con que los cuerpos describen orbitas caóticas, de modo que no es posible predecir es estado de un cuerpo en el futuro.

Éste es el caso de sistema de asteroides entre las órbitas de Marte y Júpiter que estamos estudiando. Cada uno de estos asteroides se ve influenciado por la atracción gravitatoria del resto de asteroides, del Sol y de los planetas más próximos ellos. Si bien la fuerza dominante es la de Sol, lo que les hacen describir orbitas entorno a él, también podemos observar las influencias de la atracción gravitatoria de Júpiter que es la que provoca ese fenómeno de resonancia cuyo resultado es desestabilizar las órbitas de los asteroides que poseen una determinada fracción del periodo del planeta y enviarlos fuera del cinturón de asteroides o a órbitas de diferentes radios donde el periodo del asteroide sea compatible con el de Júpiter. Éste es realmente el caso caótico, el caso en que no podemos predecir de ninguna de las maneras que trayectoria seguirán los cuerpos.

Bibliografía

-Física. Alonso y Finn.

-Astronomía. Robert Burnham, Alan Dyer y Jeff Kanipe.

En internet,

-http://www.astromia.com/solar/cinturon.htm

-Wikipedia. http://es.wikipedia.org/wiki/Cintur%C3%B3n_de_asteroides

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