Una vez conocida la base teórica, ya estamos en condiciones de estudiar uno de los modelos más simples que se proponen  en mecánica cuántica: el de la partícula en una caja de potencial.
      Dicha partícula es una partícula libre,esto es, no está sometida a  ningún tipo de fuerza, lo que equivale a decir que el potencial es constante. Para simplificar cálculos, hemos considerado una escala de energías tal que el potencial es nulo.
     A partir de la ecuación de Schrödinger y una vez realizados los cálculos necesarios obtenemos la siguiente expresión para la energía:

donde h equivale a h barra por cuestiones de edición.
n=1,2,3,...
l=longitud de la caja
Por tanto, según la ecuación (1), la energía está cuantizada.

    En nuestra simulación, hemos considerado l=1 y el programa por defecto considera la expresión h²/2m igual a la unidad de forma que la expresión anterior se simplifica a :

    Nuestra intención con el ejs ha sido obtener la ecuación de estado o de onda de nuestra partícula discretizando la ecuación de Schrödinger.
Hemos hecho la representación gráfica tanto de ésta  como de la densidad de probabilidad de encontrar a la partícula en la caja, para varios valores de energía. A continuación, interpretaremos los resultados.
    Para ver la simulación haga click en el siguiente botón:

     Bien, como sabemos, para que una  función de estado sea mecanocuánticamente aceptable debe cumplir entre otras condiciones, la de continuidad. En nuestro modelo la partícula no puede estar fuera de la caja, por tanto, las funciones de estado que buscamos deben tener su origen y su final en el cero. Ahora comprobaremos que, efectivamente, para cada valor de energía, obtenido a partir de la ecuación (2), obtenemos las funciones de estado válidas.

      Para n=1,el estado fundamental, E es aprox. 9.69 J. En la función de onda nos aparece un semiperíodo de la función seno.
Por su parte, la función densidad  de probabilidad nos indica que es más probable encontrar a la partícula en torno a l/2 y menos en los extremos de la caja.

      Para n=2, primer estado excitado, E es aprox. 39.46 J.  Ya tenemos un período entero, esto es, hay un nodo. En este caso la probabilidad de encontrar a la partícula en torno a l/2 es mínima, y máxima alrededor de l/3 y 2*l/3.

      Si hacemos n=3, E es aprox. 88.82 J. Aparece ahora un período y medio ( hay dos nodos). La probabilidad es mínima en zonas cercanas a l/3 y 2*l/3 y por el contrario, máxima en torno a l/6,  3*l/6 y 5*l/6.

      Asimismo,  podemos comprobar que para n=4, E es aprox. 157.91 J. En la función de onda distinguimos dos períodos (tres nodos). En este caso la probabilidad de encontrar a la partícula en torno a l/4, 2*l/4 y 3*l/4 es mínima. Será máxima, pues, en zonas cercanas a l/8, 3*l/8, 5*l/8  y 7*l/8.

      Tanto para estos casos como para los no mencionados, conforme aumentamos el número cuántico principal, aumenta el número de nodos de ambas funciones.
También debemos fijar nuestra atención en el hecho de que no hemos hablado en ningún momento de encontrar a la partícula en una posición determinada, sino en un rango de valores, ya que esto no tiene sentido mecanocuánticamente hablando.

AVISO: La simulación,tal y como está programada, no nos permite alcanzar valores superiores de energía.