# Ilustración gráfica 
de la convergencia de una sucesión recurrente

Vamos a ilustrar gráficamente utilizando el paquete   dynamic   de Maxima
el significado del problema visualizando su solución.
El límite, caso de existir, corresponde a un punto fijo de la función f(x):= x/(3-2*x)
es decir, un punto que cumple f(x)=x, lo cual significa un punto de corte entre 
las gráficas de las funciones f(x) y la diagonal  d(x):=x.
Para calcular los posibles puntos fijos de f basta resolver la ecuación   f(x)=x 

f(x):= x/(3-2*x);
d(x):= x;
wxdraw2d( color=red,     explicit(f(x),   x,-1,1),
                   color=green, explicit(d(x),  x,-1,1) )$  /* la diagonal en verde */
print("Los puntos de corte son: ", solve( f(x)=x, x))$

La sucesión recurrente se construye tomando un punto de partida   x1,
luego se halla f(x1)=x2, x3= f(x2) y  así sucesivamente.
Es claro que si x1=0 o bien x1=1 entonces x2=0, respectivamente x2=1
y, por inducción, la sucesión resulta ser constante para esos valores iniciales
estando garantizada la existencia del límite en tales casos.

¿Qué ocurre para otros valores de x1< 0? Veamos la imagen.

print("Tomamos un valor inicial, x1,   que situamos en la diagonal  (x1,x1) ,
    damos un paso y obtenemos el punto ( x1, x2=f(x1) ) sobre la curva  f (en rojo)
    volvemos a situar x2 sobre la diagonal (x2,x2),
    damos un nuevo paso y obtenemos  el punto  ( x2, x3=f(x2) )
    vamos repitiendo el proceso dando nuevos pasos:")$
inicial:  -1; 
pasos:    3;   
staircase(  f(x), inicial, pasos, [x,-1,1] )$

La imagen nos muestra los primeros términos de la sucesión 
(x1,x1), (x2,x2), (x3,x3)...
que, en este caso visualmente se ve que es una sucesión estrictamente
creciente y acotada superiormente por  0, luego el límite existe y es 0. 

El punto inicial y el número de pasos puede ser cambiado para experimentar

inicial:  -0.5; 
pasos:    7;   
staircase(  f(x), inicial, pasos, [x,-0.5,1] )$

inicial:  0.9; 
pasos:    7;   
staircase(  f(x), inicial, pasos, [x,-0.5,1] )$

Experimentando se ve que:

A) Si el valor inicial es <0 se genera una sucesión monótona creciente
acotada superiormente por 0: su límite existe y vale  0.
   
B) Si el valor inicial pertenece al intervalo  (0,1) la sucesión que se genera
es monótona decreciente acotada inferiormente por 0: su límite existe y vale 0.

Obviamente, lo anterior es una experimentación gráfica;
pero con el método de inducción es sencillo demostrar 
las afirmaciones que se realizan.

C) Si x1>1  el comportamiento no es tan homogeneo;
si x1=9/8 ni siquiera se puede definir la sucesión

inicial:  1.1; 
pasos:    2;   
staircase(  f(x), inicial, pasos, [x,0,6] )$

inicial:  9/8; 
x1: inicial;
x2: f(inicial);
print("Pero f(x2) no existe y no se pueden dar más pasos")$
pasos:    1;   
staircase(  f(x), inicial, pasos, [x,0,6] )$