Aplicaciones de la integral

Puede suponerse que la integral que hemos considerado en estas notas (llamada integral de Riemann) tiene su origen en la determinación del área bajo una curva mediante un cierto paso al límite del área de figuras formada por la unión de rectángulos (o trapecios) en número finito, de suerte que cuando el número de éstos tiende a infinito se obtiene el valor del área buscada.

Antes de continuar leyendo, animamos al lector a que, si no lo ha hecho ya, visite la página http://www.slu.edu/classes/maymk/Applets/Riemann.html en donde podrá experimentar y visualizar la manera en que figuras formadas por rectángulos o trapecios se van aproximando hasta coincidir visualmente con la región delimitada por la gráfica de la curva f, las rectas x=a, x=b y el eje de abscisas que corresponde a lo que Maxima entiende por integrate(f(x),c,a,b).

En el apartado dedicado al concepto de integral en estas notas implementamos un algoritmo mediante el cual, utilizando trapecios, se obtenían aproximaciones de la integral al dividir el intervalo en un número creciente de puntos. Ahora le proponemos que inspirándose en aquel código realice los siguientes

Ejercicios

  1. Genere un código para calcular con Maxima aproximaciones al área tomando los rectángulos determinados por el punto de la izquierda en los intervalos de la partición y el valor correspondiente de de f en dicho punto.
  2. Idem considerando el punto de la derecha.
  3. Idem considerando el punto medio.
  4. Compruebe que cuando n crece los valores que se obtienen son muy parecidos entre sí y con los obtenidos usando trapecios.

 

Cálculo de áreas en cartesianas

Mediante adiciones y sustracciones es sencillo calcular con Maxima el área de regiones ciertas figuras planas delitadas por sus curvas en cartesianas. El siguiente ejemplo puede dar una orientación sobre las pautas a seguir. La parte más interesante del código, correspondiente a los gráficas, se debe a Mario Riotorto autor del expléndido paquete draw y está tomado de su página http://www.telefonica.net/web2/biomates/maxima/gpdraw/func2d/index.html. Sirva esto como una pequeña muestra de nuestro agradecimiento por su trabajo en Maxima.

/* Ejemplo 1: determinación del área entre dos curvas */ f1: 2*x^2-5*x+3$ f2: -8*x^2-x+30$ /* las curvas */ plot2d([f1,f2],[x,-3,3]);

Concretamente lo que queremos calcular es el área de la región sombreada producida por el código que viene un poco más adelante, que requiere cargar el paquete draw

load(draw)$
para poder utilizarlo
f1: 2*x^2-5*x+3$ f2: -8*x^2-x+30$ [x1,x2]: map('rhs, solve(f1=f2)); draw2d(title = "Región cuya área queremos calcular", fill_color = grey, filled_func = f2, explicit(f1,x,x1,x2), filled_func = false, xaxis = true, xtics_axis = true, yaxis = true, line_width = 2, key = string(f1), color = red, explicit(f1,x,-3,3), key = string(f2), color = blue, explicit(f2,x,-3,3) );

Obviamente el punto esencial es la determinación de los puntos de corte de x1,x2 de las dos gráficas. Que aquí al tratarse de polinomios de segundo grado es una cuestión muy sencilla, tanto para usted como para Maxima; en otras situaciones podría ser necesario acudir a comandos más sofisticados como find_root.

solve(f1=f2);

De no haber estado la expresión x= en la lista anterior, habríamos obtenido lo que necesitamos: [x1,x2], pero como no es así, necesitamos que Maxima nos seleccione el «lado de la derecha» las igualdades, lo cual se hace con el comando

que actúa sobre expresiones con dos lados tales como igualdades, desigualdades, asignaciones y algunas otras. En nuestro caso hay que aplicar el comando rhs a la lista obtenida con solve y construir con los resultados la lista buscada: el comando map se ocupa de ello.


f1: 2*x^2-5*x+3$ f2: -8*x^2-x+30$ [x1,x2]:map(rhs,solve(f1=f2)); /* Primero obtenemos los puntos de corte */ /* y puesto que f2>=f1 en el intervalo considerado el área es */ integrate(f2-f1,x,x1,x2);

Ejercicio

Calcule el área comprendida entre la gráfica de la función f(x):=abs(x^2 -1)-1 y el eje 0X

 

Volúmenes de revolución

Las mismas ideas utilizadas para calcular el área bajo una curva mediante la integral, resultado del paso al límite en sumas de Riemann, pueden aplicarse en otros contextos: volúmenes, centros de gravedad, momentos de inercia, trabajo...

Por ejemplo, para obtener el volumen de una esfera de radio r lo que se hace es considerar que la esfera se obtiene haciendo girar la circunferencia de radio r centrada en el origen cuya ecuación es f(x)=sqrt(r^2 -x^2) en el intervalo [-r,r] en torno al eje 0X.

El volumen puede interpretarse como el límite de sumas de Riemann en la forma que sugiere el siguiente gráfico.

plot2d(sqrt(1-x^2),[x,-1,1], [gnuplot_preamble, "set object 1 rect from 0,0 to 0.25,1 fc lt 1; set object 2 rect from 0.25,0 to 0.5,sqrt(1-0.25**2) fc lt 1; set object 3 rect from 0.5,0 to 0.75,sqrt(1-0.5**2) fc lt 1; set object 4 rect from 0.75,0 to 1,sqrt(1-0.75**2) fc lt 1"]);

La figura de la (media) esfera que se obtiene es la siguiente

plot3d(sqrt(1-x^2-y^2),[x,-1,1],[y,-1,1], [gnuplot_pm3d,true], [gnuplot_preamble,"set palette gray; set hidden3d; unset colorbox; unset xtics; unset ytics; unset ztics; set view 90,0,1,1"]);

Dividimos el intervalo en un cierto número n de partes y construimos rectángulos en la forma sugerida por la figura anterior (por no complicar el código la gráfica anterior sólo dibuja 4 rectángulos). Al girar en torno al eje 0X cada uno de los rectángulos engendra un cilindro de radio f(x[k]) y de altura 2/n cuyo volumen, según sabemos, es %pi*(f(x[k]))^2*(b-a)/n con lo que el volumen de la figura así engendrada es la suma de los volúmenes de dichos cilindros. Tomando el límite en n obtendríamos el volumen buscado. Visto con toda generalidad, para una función f (que supondremos continua) en un intervalo [a,b] se obtendrían sumas del siguiente tipo

kill(all)$ sum( %pi*(f(x[k]))^2*(b-a)/n, k,1,n)$

que se corresponden con sumas de Riemann para la función f en el intervalo [a,b] y cuyo límite es

kill(all)$ integrate(%pi*f(x)^2, x, a,b);

Así en el caso del volumen de la esfera tendríamos

kill(all)$ a:-r$ b:r$ f(x):=sqrt(r^2-x^2); integrate(%pi*f(x)^2, x, a,b);

Ejercicios

  1. Un cono de altura h y radio r se obtiene haciendo girar cierta recta que pasa por el origen. Determine la ecuación f de ésta, los valores a,b y aplique la fórmula para calcular el volumen del cono.
  2. Un cilindro de altura h y radio r se obtiene haciendo girar cierta recta. Determine la ecuación f de ésta, los valores a,b y aplique la fórmula para calcular el volumen del cilindro.
  3. Determine el volumen del sólido engendrado al girar en torno al eje 0X la región del Ejemplo 1 que aparece más arriba.

 

Indice