Una serie es un tipo particular de sucesión, que denotaremos con S[n] construida a partir de otra sucesión que denotamos con a[n] del siguiente modo: S[n] es la suma de los términos de la sucesión a[n] desde k=1 hasta k=n.
produce los 5 primeros términos de las sucesiones a[n] y S[n], como puede verse en la ventana superior de xMaxima.
El valor a[n] se llama término general de la serie y el valor S[n] se llama la suma n-ésima de la serie. La serie se dice convergente si existe el límite de la sucesión S[n] y el valor de dicho límite se conoce con el nombre de suma de la serie.
Es sencillo darse cuenta de que para que una serie pueda ser convergente el término general de la misma ha de tener límite cero, pues de ser dicho límite un número a no nulo, el límite del término general, la suma de la serie sería más infinito si a>0 o menos infinito si a<0, ya que cuando n es «muy grande» casi todos los términos a[n] tienen un valor cercano al valor a. En cambio cuando a=0 puede ser que la serie converja o no. Para convencerse de ello compruebe que la sucesión S[n] del Ejemplo 1 es monótona creciente (lo cual es evidente) sin que aparentemente (y así es en realidad) esté acotada superiormente: vaya dando valores cada vez más grandes a n. En cambio si hace lo mismo con el Ejemplo 2 y comprobará experimentalmente que la sucesión S[n] nunca supera el valor 2.
esto garantiza que el límite existe y es finito y se podrían obtener aproximaciones del valor del límite. El grafismo también sirve de ayuda.
En principio, para calcular el valor de la suma de la serie es necesario obtener una fórmula «razonable» para la suma n-ésima a fin de poder tomar el límite. Pero esto, salvo en casos muy particulares, no es sencillo. No lo es, en ninguno de los ejemplos anteriores (trate de hacerlo a mano). Y, por tanto, tampoco lo es para Maxima.
En realidad Maxima tiene memorizado el valor de la suma de la serie del Ejemplo 2, como se muestra en el código que viene a continuación en el que con carácter local se asigna el valor true a la variable simpsum que permite expresar, en algunos casos, el valor de la suma de forma simplificada.
El valor %pi^2/6 se obtiene por un procedimiento indirecto: Maxima sólo conoce el resultado final, pero no las sumas n-ésimas.
Como consecuencia de que la serie sum(1/n^2,n,1,inf) es convergente, también lo son las series sum(1/n^s,n,1,inf) para cada s>2, ya que las sumas correspondientes son más pequeñas. De hecho, la serie sum(1/n^s,n,1,inf) es convergente si s>1 y divergente para a=1. Puede hacer sumas finitas y grafismo para experimentar por sí mismo ese hecho demostrable de forma abstracta. Maxima también conoce esa información cuando s es un número natural:
utiliza la función zeta de Riemann para ello (para más información véase http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_zeta_de_Riemann).
La serie sum(1/n^s,n,1,inf) recibe el nombre de serie armónica de orden s. Como ya hemos dicho anteriormente es convergente si y sólo sí s>1 y su suma es, por definición, zeta(s).
Otra serie importante que también se puede sumar es la serie geométrica de razón r definida por sum(r^n,n,1,inf) o bien sum(r^n,n,0,inf) siendo r una constante cuyo valor absoluto es menor que 1 (si el valor absoluto de r es mayor o igual que 1 la serie no converge).
Maxima también sabe sumar esta serie, con ayuda de simpsum si le aclaramos cómo es el valor absoluto de r en relación con 1
Al tratarse de sumas del tipo S[n]=r+r^2+r^3+...+r^n es fácil encontrar una expresión «razonable» para la suma n-esima ya que si multiplicamos por r los dos miembros de la igualdad anterior y restamos obtenemos S[n]-S[n]*r=r-r^(n+1) lo cual nos permite despejar S[n] fácilmente y tomar límites para obtener la suma. Maxima también sabe hacerlo
m-ésima mientras que
m-ésima La importancia de estos modelos estriba en que se utilizan como patrones para estudiar la convergencia de otras series, mediante comparación de aquellas, sea con la serie geométrica, sea con la serie armónica. De ese modo se obtienen los teoremas siguientes que proporcionan herramientas útiles para analizar la convergencia de series.
Ejemplos
Para estudiar el carácter de convergencia de la serie sum(x^n /n!,n,0,inf) podemos aplicar
xx
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