Vamos a estudiar una función de forma completa

f(x):=x*%e^(1/x);

Dominio: f(x) no existe cuando el denominador del exponente se anula; por tanto el 
dominio de f(x) es el conjunto de los números reales excepto 0. Veamos
a continuación si corta a los ejes; en primer lugar al eje Y, para esto deberíamos 
calcular f(0), pero 0 no está en el dominio, por tanto no corta al eje Y.

Para ver si corta al eje X hay que hacer f(x)=0. Es evidente que esto sólo ocurriría si x=0 y no puede ser.

Se suele llamar "regiones" a los "trozos" donde la funcion es positiva o negativa. En este caso, 
como la función es continua, salvo en el punto que no está en el dominio, f(x) debe tener 
signo constante antes de x=0 y después. Para esto basta comprobar el signo en cada intervalo. 

f(-1);

f(1);

Por tanto es negativa en (-infinito, 0) y positiva en (0,+infinito).

Estudiemos las asíntotas verticales

limit(f(x), x, 0, minus);

limit(f(x), x, 0, plus);

Esto significa que hay una asíntovartical en x=0, por la derecha y por la izquierda la función se acerca a 0.

Horizontales

limit(f(x), x, inf);

limit(f(x), x, minf);

Por tanto no hay asíntotas horizontales.

Oblícuas

limit(f(x)/x, x, inf);

limit(f(x)-x, x, inf);

Luego la recta y=x+1 es asíntota oblícua.

Para estudiar el crecimiento hacemos la primera derivada y estudiamos su signo

diff(f(x),x,1);

ratsimp(%e^(1/x)-%e^(1/x)/x);

Para estudiar el signo de la derivada tenemos que estudiar por separado los signos 
del numerador y el denominador para combinarlos. En este caso observamos que el 
denominador es x, por tanto es negativo antes del cero y positivo después. El numerador
es producto de una exponenciaĺ, que siempre es positiva por (x-1), negativo antes del 
uno y positivo después; así los puntos que tenemos son 0 y 1. veamos los signos. 
Sustituimos x en la derivada por valores comprendidos entre 0 y 1.

subst(-1, x, ((x-1)*%e^(1/x))/x);

subst(1/2, x, ((x-1)*%e^(1/x))/x);

subst(2, x, ((x-1)*%e^(1/x))/x);

Esto significa que f(x) es creciente desde -infty hasta 0 y  desde 1 en adelante; decrece en el resto.

Ahora tenemos que estudiar los extremos. Recuerde que en los puntos en los que la 
función pasa de creciente a decreciente hay un máximo y en los que pasa de decreciente
a creciente hay un mínimo; excepto en los puntos en los que no hay continuidad; 
en nuestro caso x=0. 

Entonces en x=1 hay un mínimo que vale

f(1);

Por fin sólo nos resta una representación gráfica

wxplot2d([f(x)], [x,-5,5], [y,-10,10])$

Podemos dibujar también la asíntota

wxplot2d([f(x),x+1], [x,-5,5], [y,-10,10])$