Ecuaciones en Derivadas Parciales y Series de Fourier

(Curso 2020-21)
3º de Matemáticas y 4º PES

(obligatoria, 6 créditos; código 1593)

PROFESORES	HORARIOS	AULA
Gustavo Garrigós	L 11:00-13:00 Ma 9:00-10:00 J 10:00-11:00	Aulario 2.08

PROGRAMA DEL CURSO (versión pdf, english version)

Objetivos: introducción a las ecuaciones en derivadas parciales (EDPs) y sus técnicas más clásicas de resolución, entre ellas los desarrollos en serie de Fourier. En particular, aprender a formular, analizar y resolver algunas de las EDPs más importantes, incluyendo las ecuaciones del calor, de Laplace y de ondas.

1. Ejemplos clásicos de EDPs

- La ecuación de la cuerda vibrante. Planteamiento físico. Solución de D'Alembert y método de

separación de variables. Significado de las condiciones de contorno. Propiedades básicas:

velocidad propagación finita, conservación energía.

- La ecuación del calor. Planteamiento físico. Método de resolución de Fourier. Significado de las

condiciones de contorno. Propiedades básicas: propagación infinita, conservación energía.

- La ecuación de Laplace: Significado físico. Conciones de contorno de Dirichlet y Neumann.

Cambio a coordenadas polares, y resolución por separación de variables. Propiedades: principio del

máximo, unicidad, propiedad valor medio.

2. Teoría de las series de Fourier

El concepto de serie de Fourier. Primeros ejemplos. Criterio de convergencia de Dini. Series de

Fourier en L² y fórmula de Parseval. Convoluciones. Núcleos de Dirichlet y de Féjer. Convergencia

uniforme de las medias de Césaro. Algunas aplicaciones.

3. Más sobre Ecuaciones en Derivadas Parciales

- Sistemas de Sturm-Liouville. Autovalores y bases de autofunciones. Funciones de Bessel.

- Ecuaciones de Laplace, del calor, y de la membrana vibrante en dominios rectangulares y

circulares. Significado y análisis de las soluciones.

- Ecuación de ondas en R² y R³. Fórmulas explícitas. Consecuencias: unicidad, dominio de

propagación, principio Huygens, concentración singularidades. Ecuación no homogéna y fórmula

de Duhamel.

- Otros temas: transformada de Fourier, funciones armónicas, ejemplos de EDPs no lineales,...

BIBLIOGRAFÍA

referencias básicas

I.Peral, Primer curso de Ecuaciones en Derivadas Parciales, Addison-Wesley, 1995

E.Stein, y R. Shakarchi, Fourier Analysis: An introduction. Princeton University Press, 2003

W. Strauss, Partial Differential Equations, 2nd Ed, Wiley 2008.

R. Churchil y J. Brown, Fourier series and boundary value problems, 7th ed, McGraw Hill, 2008

referencias avanzadas

R.Haberman, EDPs con series de Fourier y problemas de contorno, 3ª ed., Prentice-Hall, 2003

L. Evans, Partial Differential Equations, 2nd Ed, Amer Math Soc, 2010.

G. Folland, Fourier Analysis and its Applications, Amer Math Soc, 2009

TUTORÍAS

PROFESOR	HORARIOS	DESPACHO
Gustavo Garrigós	Martes 15:00-17:45 (concertar cita por email)	despacho 1.10

Para consultas breves, podéis escribir a:
gustavo.garrigos@um.es

EVALUACIÓN

EXAMEN	Fechas
Convocatoria de junio	Viernes, 28 mayo 2021 (t)
Convocatoria de julio	Martes, 13 de julio 2020 (m)

NOTA: Fecha y lugar  de los exámenes fijados por la Facultad de Matemáticas

Calificación final: Se obtendrá de la fórmula

max { 0’7EF + 0’3EC, EF }

donde

EF = nota examen final

EC = nota media de las pruebas de evaluación continua (tests de problemas)

Nota: Cuando la nota del examen (final o extraodinario) supere la media ponderada anterior, se aplicará la nota más favorable.

Adicionalmente, se valorará la participación del alumno mediante la resolución de ejercicios en la pizarrra.

Tests: test1, test2, test3

Examen: mayo

HOJAS DE EJERCICIOS

Hoja 1	Ecuación de la cuerda vibrante
Hoja 2	Ecuación del calor unidimensional
Hoja 3	Ecuación de Laplace
Hoja 4	Series de Fourier	tabla
Hoja 5	Convoluciones,...
Hoja 6	Ecuación de ondas 2D

ENLACES DE INTERÉS

·         Libro "Ecuaciones en Derivadas Parciales" de Ireneo Peral (Universidad Autónoma de Madrid)

· Controversia D’Alembert-Euler-Bernoulli sobre cuerda vibrante, artículo expositivo

· P. Hajlasz, Non-Linear elliptic PDEs, artículo expositivo

Última modificación: 29 de mayo de 2021