Cálculo de primitivas (II)

 

Cambios de variable (I)

En este apartado veremos la forma en que Maxima puede ayudarnos a realizar ciertas cuentas sin ser sólo la caja negra que realiza primitivas.

Comencemos con una primitiva que Maxima sabe calcular perfectamente.

integrate( 1/cos(x)^3, x );

Pero usted también sabe hacerla, porque se trata de una función racional en senos y cosenos que es impar en coseno. En tal caso el cambio aconsejado es hacer t=sin(x) que conduce a dt=cos(x) dx y por tanto es conveniente que el numerador de la fracción anterior tenga un factor cos(x) para lo cual multiplicamos numerador y denominador por dicho factor y así tenemos que la función se puede expresar en la forma

f:cos(x)/(1-sin(x)^2)^2

Hacer el cambio antes mencionado se traduce en hacer las siguientes substituciones formales (la segunda, que resulta extraña, se debe a la diferencial)

subst([sin(x)=t,cos(x)=1],%);

Lo cual racionaliza la primitiva que podemos calcular descomponiendo primero en fracciones simples

partfrac(%,t); integrate(%,t);

Y finalmente deshacemos el cambio

subst(t=sin(x),%);

 

Resultado que coincide con la ejecución directa de

integrate( 1/cos(x)^3,x );

 

Cambio de variable (II)

Si tratamos de calcular la siguiente primitiva encontramos que Maxima no es capaz de hacerlo

integrate( (x*%e^(acos(x)))/sqrt(1-x*x), x );

Podemos ayudarle haciendo un cambio de variable

changevar( integrate( (x*%e^(acos(x)))/sqrt(1-x*x),x ), t=acos(x),t,x)

que después de dividir por sin(x) en numerador y denominador, que Maxima no realiza, podemos ya calcular la primitiva y deshacer el cambio mediante

subst(t=acos(x),integrate(-%e^t *cos(t),t));

 

 

Moraleja final

Maxima es una herramienta potente capaz de ejecutar en un instante cálculos que a usted le costarían un esfuerzo significativo en tiempo, con una enorme posibilidad de errores. Pero es sólo una herramienta y donde ella fracasa, usted, que es más inteligente, teniendo claras las ideas abstractas puede guiarla para que le ayude incluso en situaciones, como la analizada en la sección «Experiencias con funciones racionales (II)» o en este mismo apartado de «Cambio de variable (II)», en la Maxima es incapaz por sí misma de llegar a buen puerto.

Pero también debe saber analizar, como hemos hecho en la sección «Experiencias con funciones racionales 1», cuando Maxima no está en condiciones de prestarle ayuda.

En resumen tome conciencia de que juntos pueden formar un gran equipo.

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