Funciones de Variable Compleja (Curso 2023-24)
3º
de Matemáticas y del PCEO Matemáticas-Informática
(obligatoria, 6 créditos; código 6089)
PROFESOR |
HORARIOS |
AULA |
Gustavo Garrigós |
X y V 12:00-14:00 (ver web) |
Aulario 0.11 |
PROGRAMA DEL CURSO (versión pdf)
Objetivos: introducción a la teoría clásica de Variable Compleja, estudiando con detalle las propiedades básicas de las funciones holomorfas, y sus aplicaciones más relevantes al Análisis Matemático.
1. El plano complejo
El cuerpo de los números complejos. Representaciones gráficas. La esfera de Riemann.
2. Derivación de funciones complejas
Derivación compleja y ecuaciones de Cauchy-Riemann. Reglas básicas de funciones holomorfas. Polinomios y funciones racionales.
3. Función exponencial y determinaciones del logaritmo
Funciones exponencial, seno y coseno. Determinaciones continuas del argumento. Ramas holomorfas del logaritmo.
4. Integración compleja y teorema de Cauchy en el disco
Integral de línea compleja, regla de Barrow y existencia de primitivas. El teorema de Cauchy-Goursat. Fórmula de Cauchy en el disco y aplicaciones.
5. Series de potencias y propiedades locales de las funciones holomorfas
Series de potencias y funciones analíticas. Radios de convergencia. Propiedades locales: ceros de funciones analíticas, principio del módulo máximo...
6. Teorema homológico de Cauchy
Índice de una curva. Homología de ciclos. Teorema homológico y caracterización de dominios simplemente conexos.
7. Singularidades aisladas de funciones holomorfas
Ceros y singularidades de funciones holomorfas. Desarrollos en serie de Laurent.
8. El teorema de los residuos y sus consecuencias
Teorema de los residuos y sus aplicaciones. Principio del argumento, teorema de Rouché y aplicaciones. Teoremas de la aplicación abierta y la función inversa.
BIBLIOGRAFÍA
referencias básicas
E.M. Stein, y R. Shakarchi, Complex
analysis, Princeton Univ Press, 2003.
Francisco Javier
Pérez González, Curso de Análisis
Complejo, Univ Granada, 2004 (apuntes
en la red)
Gabriel Vera, Lecciones
de análisis complejo, Electrolibris,
2013 (apuntes de teoría y libro de problemas)
J. Brown y R. Churchill, Complex Variables and
Applications, McGraw Hill, 1984
D. Zill, P. Shanahan, A first course in complex analysis with
applications, Jones & Bartlett, 2003
referencias avanzadas
L.Ahlfors, Complex
analysis, McGraw-Hill 1979.
J.B. Conway, Functions of one complex variable,
Springer 1978.
W. Rudin, Análisis real y complejo, 3ª ed., McGraw-Hill, 1988
TUTORÍAS
PROFESOR |
HORARIOS |
DESPACHO |
Gustavo Garrigós |
Lu y Ma 10:00-12:00 (o concertar cita por email) |
despacho 1.10 |
Para consultas breves, podéis escribir a:
gustavo.garrigos@um.es
EVALUACIÓN
EXAMEN |
Fechas |
Convocatoria de dic-enero |
Lunes, 15 enero 2024 (t) |
Convocatoria de mayo |
Miércoles, 15 mayo 2024 (t) |
Convocatoria de julio |
Jueves, 20 junio 2024 (t) |
NOTA: Fecha y lugar de los exámenes fijados por la Facultad de Matemáticas
Calificación final: Se obtendrá de la fórmula
max { 0’8EF + 0’2TP, EF }
donde
EF = nota examen final
TP = nota media de los tests de problemas
Nota: Esta regla se aplicará en la primera convocatoria a la que se presente el alumno (enero, junio o julio). En las siguientes convocatorias el 100% de la calificación final se obtendrá con la nota del examen.
Adicionalmente, durante el curso se valorará positivamente la resolución de ejercicios en la pizarra por parte de los alumnos, y cuando así lo indique el profesor, la entrega por escrito de algunos ejercicios destacados o su presentación oral.
Soluciones: test1, test 2, enero, junio
HOJAS DE EJERCICIOS
El plano complejo |
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La derivada compleja |
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Exponencial y logaritmos |
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Fórmula integral de Cauchy |
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Series de potencias |
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Teorema homológico de Cauchy |
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Singularidades aisladas y series de Laurent |
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Teorema de los residuos |
ENLACES DE INTERÉS
· Apuntes y ejercicios de Bernardo Cascales (Univ de Murcia)
· Curso de Análisis Complejo, Francisco Javier Pérez González (Univ Granada)
· Apuntes y ejercicios de Dragan Vúkotic (Univ Autónoma Madrid)
· Apuntes de Óscar Blasco (Univ de Valencia)
VISUAL COMPLEX ANALYSIS
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Última modificación: 24 de junio de 2024