Bibliografía y referencias

Introducción

Casi cualquier señal, puede describirse como una suma de señales senoidales. En concreto, pueden todas las que cumplan las condiciones de Dirichlet.

Cuando una señal se describe como suma de señales senoidales, se dice que estas señales la componen y se dice que las frecuencias de dichas señales senoidales están presentes en la señal resultante.

Cuando componemos una señal periódica, podemos obtener su frecuencia a partir del periodo, ésta es la frecuencia fundamental. Para componer dicha señal como suma de señales senoidales se utilizará la componente fundamental, que no es ni más ni menos que una señal senoidal de frecuencia fundamental; y el resto de componentes, llamados armónicos. Los armónicos son señales senoidales cuya frecuencia es un múltiplo de la frecuencia fundamental; así, el primer armónico tiene una frecuencia de 2 * frecuencia fundamental, el segundo armónico tiene una frecuencia de 3 * frecuencia fundamental, el tercer armónico 4 * frecuencia fundamental, etc. Como sólo las frecuencias múltiplos de la fundamental pueden estar presentes, se dice que el espectro frecuencial de las señales periódicas es discreto.

Las señales aperiódicas, sin embargo, tienen un espectro frecuencial continuo, es decir, todas las frecuencias, pueden estar presentes en una señal de este tipo. Para entender mejor por qué es esto así, piense lo siguiente:

Si la señal es aperiódica el periodo tiende a infinito. En tal caso, si el periodo tiende a infinito, la frecuencia tiende a cero, es decir es algo tan próximo a cero, que los múltiplos de ese algo abarcan cualquier número, por eso cualquier frecuencia puede estar presente.

Resumiendo, la idea es un poco extraña al principio, pero con suma de señales senoidales se puede construir casi cualquier señal, la idea es variar la amplitud, y fase de cada componente y es lo que se trabaja en esta aplicación.

La serie de Fourier

"Cualquier" señal periódica x: Reales -> Reales, con periodo fundamental p, puede describirse mediante la suma de un término constante más una suma de señales senoidales.

• Frecuencia fundamental, w0 : = 2 pi / p
• Frecuencias presentes en la señal x: k w0 , k = 0, 1, 2,....
• A0, Ak son genéricamente los coeficientes espectrales
• A0 es el término de continua (DC term)
• A1 es el coeficiente correspondiente a la frecuencia fundamental
• A2 es el primer armónico, etc.

Convergencia de la serie de Fourier

"Conforme añado más armónicos más se parece a la señal objetivo"

Sea x(t) la señal objetivo, y xN(t) la señal compuesta por los primeros N armónicos.

• xN(t) tiende a x(t) cuando N tiende a infinito (si x(t) es continua en t)

• xN(t) tiende a (x(t) por la izquierda + x(t) por la derecha) / 2 (si x(t) es discontinua en t)

Esto ocurre si x(t) cumple las antes mencionadas condiciones de Dirichlet:

1. x(t) es absolutamente integreable en un periodo (es decir la integral definida desde 0 hasta p es menor que infinito).
2. x(t) tiene un número finito de máximos y mínimos en un periodo.
3. x(t) tiene un número finito de discontinuidades en un periodo.

Como puede observar todas las señales a la que estamos acostumbrados cumplen fácilmente estas propiedades. Tan sólo señales muy "patológicas" no pueden ser descritas mediante suma de señales senoidales.

Obteniendo los coeficientes espectrales

Imagine Xk como un número complejo escrito en forma polar, de modo que su magnitud, representa la amplitud del componente k, y su ángulo representa la fase.

La serie de fourier, describe como se compone una señal como suma de señales senoidales, otra forma de verla es así:

Los Xk pueden obtenerse mediante: