En esta simulación podemos ver la variación de energía que se produce en un movimento armónico simple. En este movimiento la energía mecánica del sistema es constante.
Podemos observar el cambio que se produce en la energía mecánica del sistema en la gráfica de la derecha. En la que se muestra en color rojo la energía potencial elástica y en color azul la energía cinética. Como se observa, se produce una conservación de la energía mecánica. Ademas, en la gráfica de la izquierda se ve como es su posición (traza de color verde), su velocidad (traza color azul) y su aceleración (traza color rojo) con el paso del tiempo.
Podemos manipular la simulación con los botones de comenzar, parar y reset. También podemos ir cambiando los valores de la posición y de la velocidad inicial.
Esta conervación de la energía es debida a que la energía total o mecánica de un
cuerpo que describe un movimiento armónico simple (MAS) es el resultado de dos
contribuciones: la energía potencial U, asociada al desplazamiento del cuerpo
de la posición de equilibrio, y la energía cinética T, asociada a la
velocidad del cuerpo.
Para demostrarlo consideramos en esta
simulación, un oscilador armónico constituido por un cuerpo unido a un muelle
horizontal. Si despreciamos los rozamientos, la fuerza resultante causante del
MAS es la fuerza elástica del muelle, una fuerza recuperadora, central (siempre
dirigida hacia la posición de equilibrio) y variable, pues cumple la ley de
Hooke:
Fresultante = Felástica
restauradora = - k* x
El trabajo realizado por dicha fuerza
restauradora para desplazar el cuerpo desde una posición x hasta la
posición de equilibrio es:
WFrestauradora =(que es la integral definida entre 0
y X de F *dx)= 0.5*K*X^2 - 0 , de donde se deduce que dicho trabajo
depende solamente de la posición relativa del cuerpo oscilante y no del camino
recorrido; por tanto, la fuerza elástica recuperadora es, además de central y
variable, conservativa, luego el trabajo que realiza se relaciona con la
variación de una magnitud escalar llamada energía potencial elástica de
forma tal que se cumpla la ley de la energía potencial: WF restauradora = - ΔU
. En nuestro caso: WF restauradora = - ΔU = U(x) - U(0) =
0.5*K*X^2 - 0. Se deduce que la energía potencial elástica de un oscilador
armónico en cualquier punto viene dada por la expresión:
U(x) =0.5* kx ^2 = 0.5*A^2*sen^2 (ωt +
φo) Se puede observar que la energía potencial elástica varía
periódicamente con la posición (valor máximo en los extremos, U max =0.5* kA^2J,
y mínimo en el centro de la trayectoria,U=0 J), siendo directamente
proporcional al cuadrado de la amplitud.
Ahora bien, como en la situación
planteada la fuerza recuperadora es a la vez la fuerza resultante, aplicando la
ley de la energía cinética:
WF restauradora= 0.5*kx^2 - 0 = WF resultante = ΔT
= T(0) – T(x). Se deduce que la energía cinética en la posición de
equilibrio es máxima, haciéndose nula en los extremos, luego puede expresarse
así:
T(x) =0.5* k(A^2-x^2) = 0.5*k* A^2*cos^2
(ωt+φo) =0.5* m*A^2*ω^2*cos^2 (ωt+φo)=0.5*m*v^2
Se observa que la energía cinética
también varía periódicamente con la posición (valor máximo en el centro, T =
0.5*K*A^2 J, y mínimo en los extremos de la trayectoria, T=0 J, siendo
directamente proporcional al cuadrado de la amplitud.
Por tanto, la energía mecánica total de
un cuerpo describe un MAS resulta:
Em = T + U = 0.5*k(A^2-x^2) + 0.5*kx^2 =
0.5*K*A^2 = 0.5*m*A^2ω^2 = 2*π^2*m*ν^2*A^2 J
Así, podemos concluir que:
La energía mecánica del MAS permanece constante,
siempre y cuando no existan fuerzas disipativas (rozamientos o resistencias).
La energía mecánica es igual al valor máximo de la energía potencial, e igual
al valor máximo de la energía cinética, siendo directamente proporcional al
cuadrado de la amplitud y de la frecuencia del MAS. Durante el MAS, hay una
transformación continua de energía potencial en cinética, y viceversa.
LA
SIMULACIÓN
En vista, hemos añadido al panel central un nuevo panel de gráficos, en el que está la grafica que contiene la posición, velocidad y aceleración y, una curva analítica que contiene las expresiones de las energías.
Con todo esto, conseguimos hacer una simulación en la que aparece el movimiento armónico de un muelle, con su graficas del espacio, velocidad y aceleración ademas de su gráfica de la energía.