En nuestro esfuerzo por describir la Naturaleza de modo que podamos predecir su comportamiento y modificarla, es fundamental el uso del lenguaje de las matemáticas. Uno de los aspectos que percibimos pronto es que en la Naturaleza el cambio es lo habitual.

Para introducir las matemáticas del cambio utilizaremos la experiencia anterior de los tres objetos en movimiento. El modo en que los tres objetos se mueven es diferente, si realizamos el cociente entre los espacios recorridos y el intervalo de tiempo en que se realizan observamos que en el caso de los dos primeros cuerpos, el azul y el rojo, este cociente resulta constante mientras que en el caso del verde esta relación no es constante.

Parece razonable que definamos algo como:

A esta relación, cociente entre el desplazamiento de un cuerpo y el tiempo invertido en dicho desplazamiento, la vamos a llamar velocidad. Veamos cómo en nuestro críptico y superconcentrado lenguaje matemático podríamos escribirla así:

Esta expresión nos es útil para describir el movimiento de los dos primeros objetos, el resultado es independiente de los intervalos que consideremos, pero no es así con el tercero que nos da valores diferentes según los intervalos que consideremos. Parece que en cada punto deberíamos tener un valor ¿qué tal si hacemos tender el incremento del tiempo a un valor tan pequeño como queramos? Representémoslo así:

Hemos contraído una expresión algo extensa, a unos pocos símbolos y le damos un nombre (este es un paso importante hay que bautizar) a esta operación se le llama derivada . Este es un estupendo ejemplo del modo de operar de la física y de las matemáticas, hemos pasado de un lenguaje coloquial en la descripción de un fenómeno, un cuerpo se mueve recorriendo ... , a un lenguaje extraordinariamente simbólico y muy potente porque tiene sus propias reglas de juego.

Apliquemos esta definición que hemos hecho a un caso concreto y porqué no, a nuestra anterior experiencia. En el caso del tercer objeto, el verde de la derecha, el espacio recorrido es, con bastante buena aproximación, igual al cuadrado del tiempo.