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Los problemas matemáticos que me gustaría resolver

The mathematical problems I would like to solve

Existencia de infinitas geodésicas en variedades riemannianas compactas.

Sólo se conocen casos particulares. Por ejemplo, se ha demostrado en la esfera S² y en variedades de dimensión arbitraria cuando se asumen ciertas hipótesis topológicas. Más concretamente cuando: 1) la sucesión de números de Beti del espacio de lazos tiende a infinito (teorema de Gromoll-Meyer), 2) el grupo fundamental de la variedad es infinito y abeliano (teorema de Bangert y Hingston). Klingenberg en su libro "Lectures on closed geodesics" afirma que resuelve el caso simplemente conexo, pero parece que hay un error en su prueba. El teorema no se puede extender a las métricas de Finsler (véase los contraejemplos de Katok).

Existence of infinite geodesics in Riemannian compact manifolds.

This problem is only solved is particular cases. For example, it has been proved in the sphere S² and in manifolds of arbitrary dimension assuming further topological hypothesis. Specifically, when: 1) the sequence of Betti numbers of the manifold loop space tends to infinity (Gromoll-Meyer theorem), 2) the fundamental group of the manifold is infinite and abelian (Bangert-Hingston theorem).

Existencia de una geodésica cerrada en variedades semi-riemannianas compactas.

Existence of a closed geodesic in semi-Riemannian compact manifolds.

Este problema es mucho más complicado que su análogo riemanniano. Cuando la métrica no es definida positiva, es muy difícil aplicar la teoría del Morse al funcional energía, porque no está acotado ni por arriba ni por abajo, es fuertemente indefinido y no satisface la condición de Palais-Smale. En un artículo en colaboración con José Luis Flores y Paolo Piccione, resolvemos el problema para las variedades lorentzianas compactas y estacionarias.

This problem is much more complicated than its Riemannian analogous. When the metric is nondefinite, it is very difficul to apply Morse theory to the energy functional, becuase it is neither bounded from below nor bounded from above, it is strongly indefinite and it does not satisfy Palais-Smale condition. In a paper in colaboration with José Luis Flores and Paolo Piccione, we solve the problem for stationary compact Lorentzian manifolds.

Clasificación de las variedades de Finsler con curvatura bandera escalar.

Clasification of Finsler manifolds with scalar flag curvature.

Recientemente D. Bao, C. Robles y Z. Shen clasificaron las variedades de Finsler con curvatura bandera constante, cerrando un problema que llevaba abierto mucho tiempo, y que se puso de moda, sobre todo desde que Z. Shen encontró un contraejemplo al teorema de Yashuda-Shimada (que caracterizaba dichas variedades). El caso más general de las variedades bandera de curvatura bandera escalar sigue todavía abierto, y podría estar relacionado con los espaciotiempos estacionarios a través de la métrica de Fermat.

Conectividad geodésica en variedades semi-riemannianas.

Recently D. Bao, C. Robles and Z. Shen classified Finsler manifolds with constant flag curvature, closing a problem that was open a long time, and that came into fashion when When found a counterexample to the Yasuda-Shimada theorem (which characterized such manifolds). The more general case of scalar flag manifolds is still open, and it can related with stationary spacetimes through the Fermat metric.

Geodesic connectivity in semi-riemannian manifolds.

La conectividad geodésica de una variedad semi-riemanniana no se verifica en general cuando la variedad es geodésicamente completa, esto es, el teorema de Hopf-Rinow no es cierto en ambientes semi-riemannianos. La condición de hiperbolicidad global puede ser de ayuda, pero no suficiente. Son necesarias condiciones adicionales sobre la hipersuperficie de Cauchy.

The geodesic connetivity of a semi-Riemannian manifold is not satisfied in general when the manifold is geodesically complete, that is, Hopf-Rinow theorem does not hold in the semi-Riemannian background. Global hyperbolicity can be of help, but it is not enough. Further conditions on the Cauchy hypersurfaces are needed.