Límites de funciones de una variable, y diferenciales de una o varias variables

 

Límites, derivadas, integrales con wxmaxima

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Límites para funciones de una variable

Maxima tiene la posibilidad de calcular límites de funciones de una variable en un punto utilizando:

El argumento Dirección es opcional y sus valores son plus para el límite por la derecha y minus para el límite por la izquierda.
El comando utiliza los siguientes símbolos especiales inf para infinito positivo y ninf para infinito negativo.
En la salida, eventualente pueden obtenerse los siguientes resultados: und (indefinido), ind (indefinido pero acotado) y infinity (infinito complejo).
La técnica utilizada es la que corresponde a la regla de L'Hospital y para evitar situaciones indeseables es posible fijar mediante la variable lhospitallim el número máximo de reiteraciones de la regla de L'Hospital (el valor por defecto es 4).

  1. limit( 1/(1+x^2), x, inf);
  2. limit( (1+sin(x) - %e^x)/(atan (x)*atan (x)), x, 0);
  3. limit( %e^(1/cos(x)), x, %pi/2,plus);
  4. limit( %e^(1/cos(x)), x, %pi/2,minus);
  5. tlimit( 1/(1+x^2), x, inf);
  6. tlimit( (1+sin(x) - %e^x)/(atan (x)*atan (x)), x, 0);
  7. tlimit( %e^(1/cos(x)), x, %pi/2,plus);

 

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Derivadas y diferenciales de una o varias variables

Para el cálculo diferencial de una y varias variables Maxima dispone de del comando diff cuya sintaxis depende del número de variables:

Algunos ejemplos que ilustran lo anteriormente descrito:

  1. Los primeros ejemplos son de funciones concretas con variables identificadas
    diff( sin(x), x);
  2. diff( cos(x),x,2);
  3. diff( y*cos(x),x,2);
  4. diff( y*cos(x),x,2,y,1);
  5. kill(f)$ diff( f(x,y),x,1,y,2); diff( exp(f(x)), x,2);
  6. diff( f(x,y) );
    del(Variable) representa la diferencial de esa variable, digamos dx, dy,...
  7. Es posible hacer la diferencial de un "símbolo" genérico (que corresponde a una función) cuyas variables se declaran con el comando
    depends(símbolo,lista variables)
    depends(F,[x,y])$ diff( F );
  8. /* diferencial de funciones escalares */ diff( y*cos(x) ); diff( y*cos(x)+z^2 );
  9. /* diferencial de una función vectorial */ g(x,y):=[x^3,x^2+y^2,exp(x+y)]; diff(g(x,y));
  10. Siguen algunas derivadas simbólicas (anteponer apóstrofo) y su evaluación (anteponer apóstrofo doble):
    'diff(x^2*cos(x^3),x)= ''diff(x^2*cos(x^3),x); 'diff(x^2*cos(x^3),x,3)=''diff(x^2*cos(x^3),x,3); 'diff(exp(x^2+y),x,2,y,1)= diff(exp(x^2+y),x,2,y,1);
  1. f(x,y):= -(x^2+y^2); jacobian([f(x,y)],[x,y]); ev(%,x=1/2,y=1/2);
  2. kill(f)$ jacobian([f(x,y)],[x,y]);
  3. jacobian ([sin (u - v), sin (u * v)], [u, v]);
  4. jacobian ([F(x,y), G(x,y)],[x,y]);
  5. hessian (x * sin (y), [x, y]);
  6. depends (F, [x,y]); hessian (F, [x, y]);

En los ejemplos anteriores se han utilizado funciones elementales cuyo nombre en Maxima coincide con el usual. Puede consultar una lista de funciones que Maxima conoce y también la forma de definir nuevas funciones.

 


  1. Ap_Derivadas.wxmx
  2. Ap_CalculoDiferencialUnaVariable.wxmx
  3. Ap_CalculoDiferencialVariasVariables.wxmx
  4. Ap_Optimizacion.wxmx