El comando limit de Maxima permite calcular límites funcionales, pero se comporta como una caja negra que no muestra la operatoria.
Ejemplo 1 Calcule el límite de (x- tan(x))/((1+x)^x -1- (sin(x))^2) cuando x tiende a 0.
aunque tarda un poco, da como resultado
El hecho de que las funciones derivables puedan ser descritas localmente a través de sus polinomios de Taylor permite calcular límites de forma transparente. Para el caso que nos ocupa podemos escribir los polinomios de Taylor de f,g en el origen y entonces Maxima calcula el límite de forma más comprensiva y rápida.
Una de las aplicaciones típicas de las derivadas es el cálculo extremos de funciones. Maxima puede ayudarnos tanto a visualizar directamente la gráfica de la función, como a realizar las cuentas que establece el protocolo, sin los riesgos de los «errores de cuentas» frecuentes en los cálculos realizados manualmente.
Ejemplo 2. Determine los máximos y mínimos de la función f(x):=x/(x^4+4) en toda la recta.
El dibujo parece indicar que la función tiene un máximo absoluto en algún punto de la recta real positiva y, paralelamente un mínimo absoluto el punto simétrico respecto del origen pues la función es impar f(-x)=-f(x). Para calcular los puntos en los que se alcanzan los extremos hemos de calcular los puntos en que se anula la derivada y evaluar la segunda derivada en tales puntos. Utilizamos el comando solve.
Como esperábamos, la derivada sólo se anula en dos puntos de la recta real que, además son opuestos. En cada uno de ellos calculamos la derivada segunda para corroborar nuestras previsiones, lo cual es muy sencillo con la lista CerosDerivada que hemos creado: hay que extraer los segundos miembros de los elementos segundo y cuarto de la lista (con ayuda de rhs) y crear con ellos una nueva lista con los puntos en la que evaluar la derivada segunda:
Y ahora evaluamos en ellos la segunda derivada en los puntos x1, x2.
Para concluir que en esos puntos se alcanza el mínimo y el máximo absolutos unicamente hay que comprobar que el límite en el infinito es cero.
Ejemplo 3. Calcule los máximos y mínimos de la función f(x):=x+2*cos(x) en el intervalo [0,2*%pi].
Siendo la función continua el teorema de Weierstrass garantiza la existencia de máximo y mínimo absolutos, ya sea en el interior o en la frontera. Comenzaremos dibujando la gráfica.
Calculamos los ceros de la derivada utilizando la misma estrategia del Ejemplo 1
Como la estrategia no da un resultado concluyente dibujamos la función derivada
que nos muestra la existencia de sendos ceros como era previsible por la gráfica de la función f. Uno de ellos está en el intervalo [0,1] y el otro en el intervalo [2,3]; el comando find_root podría calcular valores aproximados para tales ceros. Pero si conseguimos valores exactos (usted podría conseguirlos a mano) mucho mejor.
Con los conocimientos que usted posee de la función seno puede facilmente deducir que el otro cero de la derivada es %pi-%pi/6 y en efecto así es.
Finalmente para decidir los extremos absolutos de la función evaluamos ésta en los puntos críticos (puntos de anulación de la derivada) y en los extremos del intervalo
quedando claro los puntos en que se alcanza el máximo absoluto y el mínimo absolutos, así como el valor de dichos extremos.
Ejemplo 4 Demuestre que x/sin(x)<tan(x)/x en (0,%pi/2).
Nos ayudamos del grafismo para «visualizar» si la afirmación es cierta.
pero no dibuja nada; ¿qué está pasando? Probemos con otro intervalo
que nos sirve para darnos cuenta de lo que estaba pasando, ¿verdad?
La relación que deseamos demostrar puede ser escrita equivalentemente en la forma x^2<sin(x)*tan(x), de suerte que definiendo f(x):= sin(x)*tan(x) - x^2 se trata de probar que f(x)>0 ; pero siendo f(0)=0 el resultado se podría obtener si f fuera una función creciente. Intentemos probarlo haciendo derivadas sucesivas y tratando de simplificar con Maxima los resultados, utilizando para ello la función trigsimp de Maxima.
el resultado de la tercera derivada, una vez simplificado, nos permite probar lo que queríamos ya que está claro que la tercera derivada (última fórmula proporcionada por Maxima) es estrictamente positiva en (0,%pi/2).
En consecuencia la segunda derivada es creciente en dicho intervalo, pero como su valor en el origen, que podemos calcular con ayuda del comando subst,
resulta que la segunda derivada es estrictamente positiva en el intervalo considerado. Con la misma estrategia, puesto que
se obtiene que la primera derivada de f es estrictamente positiva en (0,%pi/2) con lo cual f es estrictamente creciente. ¡Objetivo conseguido!
Ejemplo 5 Demuestre que abs((1+x)^(1/3)-(1+x/3-x^2/9))<=5*x^3/81.
Comenzamos ayudándonos del grafismo para visualizar la viabilidad de la afirmación.
Hacemos el desarrollo de Taylor de la raíz cúbica
lo cual nos permite percatarnos de que los primeros términos de dicho desarrollo coinciden con los del polinomio que figura en la función f por consiguiente, una forma razonable para abordar la acotación es utilizar el desarrollo de Taylor de f de grado 3 con resto.
Y por tanto la expresión a acotar
con lo cual hemos conseguido probar la desigualdad.
Ejercicio
Utilizando Maxima y sus conocimientos de teoría demuestre que si 0<a <b<%pi/2 entonces tan(b)/tan(a)>b/a
Definición Una función se dice convexa si para cada dos puntos arbitrarios de su dominio la recta secante correspondiente a la gráfica de la función en dichos puntos está situada por encima de la función entre dichos puntos. Evidentemente una función como f(x):=x^2 con dominio la recta real cumple esa condición.
Definición Una función se dice cóncava si para cada dos puntos arbitrarios de su dominio la recta secante correspondiente a la gráfica de la función en dichos puntos está situada por debajo de la función entre dichos puntos. Evidentemente, funciones como f(x):=-x^2, g(x):=log(x) en sus correspondientes dominios son funciones cóncavas.
Lo que ocurre para las funciones f(x):=x^2, -x^2=-f(x) no es un caso especial, si una función es convexa su opuesta es cóncava y al revés.
Más como un ejercicio propio de Maxima que como un ejercicio conceptual, vamos a «experimentar» gráficamente que la función f(x):=-log(1+x) es convexa en la recta real positiva construyendo secantes aleatorias. Haremos uso del paquete draw que procedemos a cargar
para poder utilizar el comando draw2d en el gráfico siguiente, que produce un resultado diferente en cada ejecución, debido a que el comando random da un carácter aleatorio a la secante.
La convexidad de una función f se caracteriza, para funciones derivables, por el hecho de que la recta tangente en cualquier punto de la curva divide al plano en dos semiplanos y la gráfica de f está siempre en el semiplano superior. Otra forma de determinar la convexidad es por el hecho función derivada f' sea creciente; por tanto, en caso de que la segunda derivada f'' exista y sea positiva en su dominio, la función f es convexa.
Ejercicio
Elija una función convexa cualquiera y compruebe gráficamente con Maxima que la recta tangente a la gráfica de función en cualquier punto, elegido aleatoriamente, deja siempre a la función en el semiplano superior que determina la dicha recta.
Ejemplo 6 Demuestre que log(x)>=1+(x-%e)*1/(%e*(%e-1)) en el intervalo [%e,%e^2] y log(x)<=1+(x-%e)*1/(%e*(%e-1)) en el intervalo [%e,inf).
Comenzaremos con un gráfico que nos ayude a entender el significado geométrico de las desigualdades.
La función logaritmo es cóncava pues su derivada segunda
Lo cual sirve para demostrar la primera de las desigualdades, pues al ser la función cóncava está situada por encima de la recta secante en el intervalo [%e,%e^2]. La recta tangente en el punto %e^2 deja por debajo al logaritmo en todo el dominio debido a la concavidad (lo cual se aprecia en la gráfica que aparece después) y la pendiente de dicha recta es inferior a la de la recta secante anteriormente considerada,
por lo que en el intervalo [%e^2,inf) la recta recante está por encima de la tangente que, a su vez, está por encima de la curva (aquí hemos decidido usar el comando at en lugar del subst que hemos utilizado anteriormente).
esto demuestra la validez de la segunda desigualdad.
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