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Maxima nos permite visualizar de forma gráfica y de un modo sencillo funciones reales de una variable con las que habitualmente trabajamos. La sintaxis, que es muy sencilla, aparece sugerida por los ejemplos que vienen a continuación y que el lector podrá fácilmente ir modificando de acuerdo con sus deseos.
Utilizaremos una función clásica y bien conocida como es la función seno
Le invitamos a que ensanche la ventana y la pinte en intervalos más grandes y, que en la gráfica que Maxima dibuja, reconozca la figura que usted esperaba encontrar.
Fije su atención en la apariencia de la función cerca de 0 ¿a qué se parece? Lo vamos a visualizar mejor si modificamos el dominio de la función, por ejemplo, con los siguientes datos, que usted puede cambiar, por un intervalo más pequeño si lo desea
Tenga en cuenta que Maxima puede no utilizar la misma escala en los ejes OX y OY y que usted puede estirar o encoger la ventana para conseguir "casi" la misma escala visualmente, en determinados casos.
Cambie a un intervalo más pequeño en torno a 0, como por ejemplo, [-0.25, 0.25]. ¿Qué aspecto tiene la gráfica? Situése en el entorno de otro punto, por ejemplo 1, y tome por ejemplo, el intervalo [0.9, 1.1] ¿Se parece a una recta? Modifique la longitud del intervalo hasta que se parezca a una recta.
Haga experiencias similares con la función seno en otros puntos. Utilice tambien otras funciones como f(x)=exp(x), f(x)=log(1+x), f(x)=x^2...
Volvamos de nuevo a fijarnos en la función seno en el intervalo [-0.7,0.7]
No es exactamente una recta pero se parece bastante. Y si tomamos un intervalo más pequeño, aún se parece más (compruebélo). ¿Cual es la recta? Bien, una recta viene determinada por por dos puntos, podemos pensar en (1, sin(1)) y (1.1, sin(1.1)) --observe como se dibuja la recta usando "discrete"--
La ecuación de la recta secante que pasa por los puntos P=(0, sin(0)) y Q=(0.7, sin(0.7)) es de la forma y-sin(0.7)=m*(x-0.7) donde m se calcula en la forma
Efectivamente las gráficas de la secante y la curva son bastante parecidas
Es tentador ensayar en intervalos más y más pequeños con la idea de ver que ocurre con m cuando la longitud del intervalo tiende a 0; dicho de forma precisa
Ejercicio
Haga experiencias similares cambiando la función seno por otras que le resulten familiares.
No todas las curvas se parecen a una recta en las distancias cortas, incluso aunque sean continuas.
En el código que viene a continuación utiliza un codicional «típico» en los lenguajes informáticos:
if codicion1 then expresion1
else expresion2.
Definición Una función f se dice derivable en x0 si existe
m:=limit( (f(x0+h)-f(x0)) / (x0+h -x0), h, 0) y a dicho límite se le llama
la derivada
de f en el punto x0.
Como muestra el ejemplo anterior la existencia de derivada
depende de cada punto, y por tanto no es, en general, una propiedad global de la función.
Pero hay muchas funciones, como es el caso del seno, que se pueden derivar en cada punto x
y entonces podemos construir una función m(x) que nos de el correspondiente valor
de la pendiente de la recta tangente en el punto x: dicha función se llama la función
derivada y se representa mediante f'(x) en lugar de con m(x)
Así, por ejemplo, podemos calcular la derivada en un punto concreto de algunas funciones a través de la propia definición, e incluso en un punto genérico.
x,t, Maxima pregunta por ello. Respondiendo con positive; el proceso se desarrolla sin incidentes.
Pero más allá de experiencias concretas como éstas, Maxima implementa un comando diff capaz de calcular las derivadas de cualquier orden de funciones expresables con fórmulas «simples» en términos de las llamadas funciones elementales.
donde número indica el número de derivadas a realizar, que en el caso de ser 1, puede eludirse.
Esto no es una formulación muy precisa, pero los ejemplos siguientes pueden ayudar a comprender el significado de la misma.
x=0. Maxima puede ayudarnos a calcular la derivada correcta en el origen si se lo sabemos pedir adecuadamente. En primer lugar prolongamos f en el origen para que sea continua (dibuje la gráfica de la función cerca del origen para convencerse de cual es el valor «natural» de f(0)) f(0)=0 y a continuación calculamos la derivada en el origen usando la definición de derivadaEjercicios
La existencia de derivada en un punto es equivalente a la existencia de recta tangente. Y lo interesante de la tangente es precisamente eso, que es una recta; es decir, que pertenece a la clase de las funciones más simples en las que se puede pensar: calcular el valor que toma una recta en cualquier punto es trivial.
Volvamos a la función seno que utilizamos al comienzo. Piense por un momento que no tiene calculadora. ¿Cuanto vale sin(0.15) aproximadamente? Si se ha entendido el significado de las reflexiones anteriores, la respuesta es simple: vale aproximadamente lo que valga la recta tangente en 0.15 y como la recta tangente tiene por ecuación g(x)=x obtenemos que el valor de sin(0.15) es aproximadamente 0.15, y lo mismo ocurre con otros valores pequeños de x. ¡Comprúebelo!
¿Cuanto vale sin(0.8) aproximadamente? La respuesta ahora no es tan simple, requiere un poco más de reflexión, porque 0.8 no está cerca de 0. Más bién 0.8 está cerca de %pi/4 y este es un ángulo especial, pues al corresponder a la bisectriz del primer cuadrante los valores del seno y el coseno coinciden, y como la suma de sus cuadrados ha de ser 1, podemos concluir que sin(%pi/4)=cos(%pi/4)=1/sqrt(2). Utilizando de nuevo la recta tangente, pero en ahora en %pi/4 podemos calcular sin(0.8) con una buena aproximación.
Veamos un gráfico que le ayudará a visualizar como puede calcular el seno de cualquier ángulo entre 0 y %pi/2 utilizando rectas tangente en algunos puntos en los que resulta sencillo calcularlas.
Las gráficas anteriores muestran visualmente que podemos calcular los valores del seno, con buena aproximación, al menos en el intervalo [0,1], usando rectas bien definidas y fáciles de calcular. Calcule manualmente, por ejemplo sin(1) usando una recta tangente adecuada y compare el valor obtenido con el que le proporciona una calculadora, o el propio Maxima.
La ecuación de una recta es un polinomio de primer grado. Y calcular valores de funciones que sean polinomios no representa una dificultad significativamente diferente de la de calcular valores en una recta; cosa bien distinta, es por ejemplo, calcularlos en la función seno, en la función logarítmo, etc.
Los polinomios son los candidatos naturales para sustituir a las rectas en «distancias medias y largas». Pero la cuestión es ¿cuales son los coeficientes de los polinomios a utilizar? La respuesta la proporciona el siguiente teorema.
Teorema de Taylor Si f es una función derivable n veces
en un punto x0 entonces es posible escribir f(x) en cada punto
x como el valor en ese mismo punto x de un cierto polinomio
de grado n-1, llamado el polinomio de Taylor, más un término complementario,
llamado resto, que mide el error cometido en la aproximación.
De forma más precisa
f(x)=f(x0)+diff(f,1)(x0)/1! (x-x0)+diff(f,2)(x0)/2! (x-x0)^2+...
+diff(f,n-1)(x0)/(n-1)!(x-x0)^(n-1)
El código que sigue construye la fórmula de Taylor con resto de Lagrange haciendo uso de los comandos block, que define un grupo local, y eval que es una de las diferentes formas de realizar una evaluación en Maxima.
Por ejemplo, para la función seno con x0=0 y n=9, utilizando el comando print, tenemos:
donde el número t que aparece en la fórmula anterior cumple la condición 0<t<x.
Maxima tiene implementado el comando taylor para calcular los polinomios de Taylor de una función, en un punto y para un cierto grado de acuerdo con la siguiente sintaxis:
Para el caso de la función seno en el intervalo [-%pi,%pi] los siguientes códigos dibujan dicha función y diferentes polinomios de Taylor.
La tangente en el punto 0 (polinomio de Taylor de grado 1) aproxima bien al seno cerca del punto 0, pero se separa bastante en a medida que nos alejamos de 0.
Con el polinomio de Taylor de grado 3 la aproximación es mejor en un intervalo de mayor longitud centrado en 0.
Con el polinomio de Taylor de grado 9 la aproximación es ya muy buena en todo el intervalo [-%pi,%pi]; lo cual significa que podemos calcular sin(c) para cualquier c en dicho intervalo evaluando el polinomio de Taylor de grado 9 en dicho punto c. En el ejemplo que viene a continuación hemos tomado c=1 y obtenemos dos números, el primero corresponde al que proporciona la evaluación del polinomio de Taylor en dicho valor comparando y el segundo el que proporcionaría una calculadora (en este caso Maxima).
Usted puede hacer la misma operación para otros valores de c. El mensaje esencial del ejemplo que acabamos de realizar es el siguiente: cualquiera que sepa calcular el valor de un polinomio en un punto sabe calcular el valor del seno en dicho punto. Obviamente, el seno no es un caso excepcional y las mismas ideas y técnicas se aplican a otras funciones en las condiciones del teorema de Taylor.
Ejercicios
Ayudándose del grafismo, para elegir un grado adecuado en el polinomio de Taylor, calcule valores aproximados para
usando polinomios de Taylor. Compare dichos aproximaciones con las que proporciona directamente Maxima.
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