Análisis de Fourier (Curso 2011-12)
4º de Matemáticas

 (optativa, 6 créditos; código: 04A2)

PROFESORES	HORARIOS	AULA
Gustavo Garrigós (Despacho 1.17)	M-V 9:00-10:00	2.10

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1. PROGRAMA  (Programa en pdf)

Objetivos: Introducción a la teoría clásica de series e integrales de Fourier, con énfasis en los problemas de convergencia, y aplicaciones a la resolución de EDPs y
el tratamiento de imágenes.

1. Repaso de integral de Lebesgue.

La medida de Lebesgue en R; integral de Lebesgue y teoremas de convergencia de integrales.

2. Espacios L^p.

     Desigualdad de Hölder, completitud, aproximación por funciones suaves, dualidad.

3. Convoluciones.

Nociones de convergencia: puntual, uniforme, en medida y en norma L^p. Convolución: propiedades básicas, desigualdad de Young.

      Aproximaciones de la identidad. El Teorema de diferenciación de Lebesgue y el operador maximal de Hardy-Littlewood.

4. Espacios de Hilbert.

Existencia de bases ortonormales. Teorema de Riesz-Fischer. Proyecciones ortogonales y dualidad.

Ejemplos: sistema trigonométrico; sistema de Haar; polinomios ortogonales en L²[0,1].

5. Series de Fourier.

Series de Fourier de funciones integrables: lema de Riemann-Lebesgue. Núcleos de Dirichlet y Fejér; fenómeno de Gibbs,

sumabilidad de Cesàro y de Abel. Convergencia puntual y uniforme de las series de Fourier. Aplicaciones.

6. Transformada de Fourier.

La transformada en L¹(R): propiedades y fórmula de inversión. La transformada en L²(R): teorema de Plancherel.

Aplicaciones: el teorema de muestreo de Shannon, resolución de EDPs y convergencia al dato inicial.

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2. BIBLIOGRAFÍA

Textos recomendados:

J. Cerdà, “Análisis Real”, Ed. Univ. de Barcelona, 1996

R. Churchil y J. Brown, “Fourier series and boundary value problems”. Mc-Graw Hill

H. Dym y H.P. McKean, “Fourier series and integrals”. Academic Press, 1972

G.B. Folland, “Fourier Analysis and its Applications”. Brooks Cole 1992.

G.B. Folland, “Real Analysis”. Wiley Interscience Series, 1992

T. Körner, “Fourier Analysis”, Cambridge Univ Press 1988.

E. Prestini, “The evolution of Applied Harmonic Analysis”. Birkhauser 2004.

E.M. Stein, y R. Shakarchi, “Fourier analysis”. Princeton University Press, 2003

E.M. Stein, y R. Shakarchi, “Real Analysis”. Princeton University Press, 2004

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3. TUTORÍAS

PROFESOR	HORARIOS	DESPACHO
Gustavo Garrigós	M-J 17:00-18:30 (cita previa)	1.17

Para consultas breves, podéis escribir a:
gustavo.garrigos ‘at’ um.es

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4. EVALUACIÓN

Fecha y lugar de los exámenes fijada por la Facultad de Matemáticas.

EXAMEN	Fecha
CONVOCATORIA DE JUNIO	Martes, 5 de junio de 2012
CONVOCATORIA EXTRAORDINARIA DE JULIO	Sábado, 7 de julio de 2012

Calificación final: Se obtendrá de la fórmula

máx{ EF, 0´4EF + 0´6HP}

donde EF=nota examen final,  HP= calificación hojas de problemas.

Las hojas de problemas se entregarán periódicamente en clase, pudiendo pedirse a los alumnos la presentación oral de ejercicios en la pizarra.

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5. EJERCICIOS

Hoja 1	Repaso de la integral de Lebesgue
Hoja 2	Espacios L^p
	Convolución y aproximaciones de la identidad
	Espacios de Hilbert
	Series de Fourier
	Transformada de Fourier

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6. ENLACES RELACIONADOS CON EL CURSO

· Apuntes en la red relacionados con el curso:

· Apuntes de Análisis de Fourier (J. Duoandikoetxea, UPV)        ¡recomendado!

· Teoría de la medida: J. Hunter (U. California, Davis)

· Enlaces a cursos similares en otras Universidades:

· Universidad Autónoma de Madrid (Fernando Soria)

· Universidad de Jaén (curso de Análisis de Fourier y teoría de señal, J.M. Almira)

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· Otros enlaces de interés:

· Resumen sobre Procesamiento de Imágenes y Transformada de Fourier: S. Lehar .

· Math Archives: Enlaces sobre transformada de Fourier y aplicaciones.

· Libro sobre procesamiento digital de señales: S. Smith.

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Última modificación: 15 de febrero de 2012.