Análisis Matemático Aplicado I

(Curso 2018-19)
Máster en Matemáticas Avanzada

(3 créditos; código 6364)

PROFESORES	HORARIOS	AULA
Gustavo Garrigós	M y J 9:00-11:00 (7 semanas: desde 25 sept al 9 nov)	Aulario 2.07

PROGRAMA DEL CURSO (versión pdf)

Objetivos: En esta asignatura se introducen técnicas básicas del Análisis Matemático con aplicaciones a distintos ámbitos, con especial énfasis en las Ecuaciones en Derivadas Parciales.

Temario: Se tratarán algunos de los siguientes temas, según los intereses y conocimientos previos de los alumnos y el tiempo disponible.

1. Transformada de Fourier y aplicaciones

Repaso sobre convoluciones y aproximaciones de la identidad. La transformada de Fourier en L¹ y L²: teoremas de inversión y de Plancherel. Aplicación a la resolución formal de EDPs. Otras aplicaciones.

2. Distribuciones y espacios de Sobolev

Operaciones básicas con distribuciones: derivada débil, convolución, transformada de Fourier. Solución fundamental de una EDP: teorema de Malgrange-Ehrenpreis. Introducción a los espacios de Sobolev: densidad, inclusiones, teorema de inmersión de Sobolev. Aplicaciones a las EDPs.

3. Teoría de semigrupos y EDPs de evolución

Introducción a los semigrupos de operadores: generador infinitesimal y teorema de Hille-Yosida. Aplicación a las ecuaciones del calor y de ondas. El semigrupo de Hermite.

4. Integrales oscilatorias

Introducción a las integrales oscilatorias: lema de Van der Corput y método de la fase estacionaria. Aplicaciones: asintótica de las funciones de Bessel, decaimiento de la transformada de Fourier, propiedades oscilatorias de las ecuaciones de ondas y de Schrödinger.

5. Métodos variacionales y EDPs elípticas

Introducción al cálculo variacional. Existencia de minimizantes y teoremas de tipo minimax. Aplicaciones: problema de Dirichlet, autovalores del laplaciano, EDPs no lineales,...

BIBLIOGRAFÍA

referencias básicas

G. Folland, Real Analysis, 2nd ed. John Wiley 1999

E. Stein, R. Shakarchi, Fourier Analysis, an introduction. Princeton Univ Press 2003

L. Evans, Partial Differential Equations, Amer Math Soc 1997

E. Lieb, M. Loss, Analysis, 2nd ed, Amer Math Soc 2001

H. Brezis, Análisis Funcional, Alianza Ed 1984

otras referencias

E. Stein, Harmonic Analysis, Princeton Univ Press 1993

E. Prestini, The evolution of applied harmonic analysis, Birkhauser, 2004

TUTORÍAS

PROFESOR	HORARIOS	DESPACHO
Gustavo Garrigós	Jueves 12:00-14:00 (concertar cita por email)	despacho 1.10

Para consultas breves, podéis escribir a:
gustavo.garrigos ‘at’ um.es

EVALUACIÓN

EXAMEN	Fechas
Convocatoria de junio
Convocatoria de julio

NOTA: Fecha y lugar  de los exámenes a determinar por la Facultad de Matemáticas

Calificación final: El 80% se obtendrá de problemas o trabajos escritos, que deberán entregarse en las fechas establecidas durante el curso. El 20% restante, de la presentación oral de estos trabajos. En caso de no aprobar por el método anterior, o de ser necesaria una convocatoria extraordinaria, se realizaría un examen sobre contenidos teóricos y ejercicios de la asignatura, en las fechas oficiales que en su caso fijara la Facultad.

Participación semipresencial: En este curso la asistencia a las clases no es obligatoria, si bien es altamente recomendada. También es recomendable la asistencia a tutorías mientras se trabaja en la resolución de ejercicios o en la redacción de trabajos escritos.

Aquellos alumnos que no puedan asistir a clase, o deseen matricularse en modo semipresencial, deberán entregar los trabajos o ejercicios en las fechas establecidas, y venir físicamente a las presentaciones orales concertando una cita con el profesor.

HOJAS DE EJERCICIOS

Hoja 1	Convoluciones	Plazo: martes 16 octubre
Hoja 2	Transformada de Fourier	Plazo: martes 30 octubre
Hoja 3	Distribuciones	Plazo: jueves 15 noviembre

Lista provisional de posibles trabajos: lista de trabajos

1. El teorema de interpolación de Riesz-Thorin. Ver [Folland, §6.5].

2. Función maximal de Hardy-Littlewood y convergencia en ctp de aproximaciones de la identidad. Ver [Folland, §3.4 y Thm 8.15].

3. Construcción de un conjunto de Kakeya en R² . Ver [Stein, §X.1]

4. El principio de incertidumbre de Benedicks. Ver el libro de [Muscalu-Schlag, §10.2], o los apuntes en la red de Hill, o el artículo original de Benedicks.

5. Distribuciones de soporte compacto. Ver [Folland, §8.2].

6. El teorema de Malgrange-Ehrenpreis. Ver notas de G. Franz, o artículo de P. Wagner.

7. Los espacios de Sobolev Hˢ(Rⁿ). Ver [Folland, §9.3].

Fecha tentativa de presentación de trabajos: del 3 al 5 de diciembre de 2018

- los alumnos que no lo hayan hecho, deben confirmar conmigo su elección de trabajo

- la exposición debe ser de aprox 30 min (en pizarra o en pdf)

- la fecha de presentación será del 3 al 5 de diciembre; se ruega confirmar la finalización del trabajo para fijar el día y hora de presentación.

Última modificación: 12 de noviembre de 2018