Discretización de la ecuación de Schrödinger.

La ecuación de Schrödinger, desarrollada por el físico austríaco Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger en 1925, describe la dependencia temporal de los sistemas mecanocuánticos. Es de importancia central en la teoría de la mecánica cuántica, donde representa un papel análogo a las leyes de Newton en la mecánica clásica, estos mundos tienen comportamientos drásticamente diferentes así como el modo de describirlos. En primer lugar para describir una partícula emplearemos funciones en lugar de vectores de posición, en lugar de las fuerzas utilizaremos energías.

La ecuación de Schrödinger en una dimensión viene dada por:

   (h/2∗π)²   ∂² Ψ(x, t)
- ————   ———  
    2m          ∂x² 
+ U(x, t) ∗ Ψ(x, t) =  i (h/2∗π)
∂ Ψ(x, t)
  ———  
∂t 

donde m es la masa de la partícula y U(x, t) el potencial al que está sometida, h/2∗π se suele escribir como h barra pero no lo hemos hecho así por cuestiones de edición.

Nuestro objetivo es obtener la ecuación Ψ(x, t), la solución dependerá del potencial que defina nuestro problema, en algunos casos esta ecuación tendrá solución analítica pero no en la mayoría de ellos.

Si la energía potencial es independiente del tiempo, podemos obtener soluciones de la forma:

Ψ(x, t) = f(x) e-iEt/(h/2∗π)

Una partícula que se encuentre en el estado definido por esta función de estado tiene una energía bien definida E. Si sustituimos esta solución en la ecuación de Schrödinger obtenermos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:

 (h/2∗π)²   d² f(x)
- ————   ———  
    2m          d x² 
+ U(x) ∗ f(x) = E ∗ f(x)

Podemos discretizar esta ecuación utilizando la expersión encontrada en el apartado 2.1.2.- Discretización derivada segunda, para la derivada segunda de nuestra función.

Si hacemos igual a uno la constante que aparece en la ecuación de Schrödinger:  (h/2∗π)²
-----------   = 1
     2m

y tenemos en cuenta la expresión para la derevida segunda, nos queda:

f [i+1] + f [i-1] - 2 ∗ f [i]
——————————
Δ x²
+ U(x) ∗ f(x) = E ∗ f(x)

Despejando f [i+1] obtenemos:

f [i+1] = (2.0 - Δ x² ∗ [ U(x) - E ]) ∗ f [i] - f [i-1];

Esta expresión es fácilmente programable dando valores iniciales adecuados para la función f, dependiendo del problema concreto, es decir del valor del potencial U(x) al que está sometida la partícula. A continuación se muestran varios ejemplos:

- Partícula en una caja.
- Potencial escalón.
 

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