Análisis Matemático Aplicado I

(Curso 2024-25)
Máster en Matemáticas Avanzada

(3 créditos; código 6364)

PROFESORES	HORARIOS	AULA
Gustavo Garrigós	Viernes 11:00-13:00	Aulario 2.07

PROGRAMA DEL CURSO (versión pdf)

Objetivos: En esta asignatura se introducen técnicas básicas del Análisis Matemático con aplicaciones a distintos ámbitos, con especial énfasis en las Ecuaciones en Derivadas Parciales.

Prerrequisitos: contenidos de análisis de tercero o cuarto del grado en Matemáticas: integral de Lebesgue, variable compleja, EDPs y análisis funcional. Es recomendable cursar simultáneamente la asignatura Análisis Matemático Clásico de este máster.

Temario: Se tratarán uno o varios de los siguientes temas, según los intereses y conocimientos previos de los alumnos y el tiempo disponible.

1. Transformada de Fourier y aplicaciones

Repaso sobre convoluciones y aproximaciones de la identidad. La transformada de Fourier en L¹ y L²: teoremas de inversión y de Plancherel. Aplicación a la resolución formal de EDPs. Otras aplicaciones: principio de incertidumbre, muestreo de señales, formato jpeg…

2. Distribuciones y espacios de Sobolev

Operaciones básicas con distribuciones: derivada débil, convolución, transformada de Fourier. Solución fundamental de una EDP: teorema de Malgrange-Ehrenpreis. Introducción a los espacios de Sobolev: inclusiones y teorema de Sobolev. Regularidad de EDPs elípticas.

3. Teoría de semigrupos y EDPs de evolución

Introducción a los semigrupos de operadores: generador infinitesimal y teorema de Hille-Yosida. Aplicación a las ecuaciones del calor y de ondas.

4. Otros temas del Análisis Armónico relacionados con las EDPs

Integrales singulares. Integrales oscilatorias. El problema de restricción de la transformada de Fourier y la conjetura de Kakeya.

BIBLIOGRAFÍA

referencias básicas

G. Folland, Real Analysis, 2nd ed. John Wiley 1999

E. Stein, R. Shakarchi, Fourier Analysis, an introduction. Princeton Univ Press 2003

L. Evans, Partial Differential Equations, Amer Math Soc 1997

E. Lieb, M. Loss, Analysis, 2nd ed, Amer Math Soc 2001

H. Brezis, Análisis Funcional, Alianza Ed 1984

otras referencias

E. Stein, Harmonic Analysis, Princeton Univ Press 1993

E. Prestini, The evolution of applied harmonic analysis, Birkhauser, 2004

TUTORÍAS

PROFESOR	HORARIOS	DESPACHO
Gustavo Garrigós	Lunes 10:00-12:00 Martes 10:00-12:00 (concertar cita por email)	despacho 0.12

Para consultas breves, podéis escribir a:
gustavo.garrigos ‘at’ um.es

EVALUACIÓN

EXAMEN	Fechas
Convocatoria de junio
Convocatoria de julio

NOTA: Fecha y lugar  de los exámenes a determinar por la Facultad de Matemáticas

Calificación final: El 80% se obtendrá de problemas o trabajos escritos, que deberán entregarse en las fechas establecidas durante el curso. El 20% restante, de la presentación oral de estos trabajos. En caso de no aprobar por el método anterior, o de ser necesaria una convocatoria extraordinaria, se realizaría un examen sobre contenidos teóricos y ejercicios de la asignatura, en las fechas oficiales que en su caso fijara la Facultad.

Modalidad semipresencial: En este curso la asistencia a las clases no es obligatoria, si bien es altamente recomendada. También es recomendable la asistencia a tutorías mientras se trabaja en la resolución de ejercicios o en la redacción de trabajos escritos. Aquellos alumnos que no puedan asistir a clase, o deseen matricularse en modalidad semipresencial, deberán entregar los trabajos o ejercicios en las fechas establecidas, y venir físicamente a las presentaciones orales concertando una cita con el profesor.

HOJAS DE EJERCICIOS

Hoja 1	Convoluciones
Hoja 2	Transformada de Fourier
Hoja 3	EDPs y distribuciones

Lista provisional de posibles trabajos:  (lista orientativa)

1. El teorema de interpolación de Riesz-Thorin. Ver [Folland, 6.5].

2. Función maximal de Hardy-Littlewood y convergencia en ctp de aproximaciones de la identidad. Ver [Folland, Thm 8.15].

3. El principio de incertidumbre de Benedicks. Ver el libro de [Muscalu-Schlag, §10.2], o el artículo original de Benedicks.

4.- El principio de incertidumbre de Beurling. Ver TFM previo, o el artículo original de Hedenmalm.

5. Solución explícita de la ecuación de ondas en R^d , d ≥ 4. Ver indicaciones en [Stein-Shakarchi, Problems 7.4 y 7.5], o artículo de Torchinsky.

6. Unicidad local de la ecuación de ondas. Ver [Stein-Shakarchi, Problem 7.3, pag 213].

7. Lattice points in balls of R^2. Ver [Stein-Shakarchi IV, Chapter 8.8].

8. Funciones de Hermite, y propiedad de base ortonormal en L2(R). Ver [Stein-Shakarchi, Chapter 5, Problem 7].

9. Transformada de Fourier discreta y algoritmo FFT. Ver [Stein-Shakarchi, Chapter 7.1] o TFG previo.

10. Transformada de Radon en R3 y teorema de inversión. Ver [Stein-Shakarchi, Chapter 6.5.2] o TFG previo.

Última modificación: 26 septiembre de 2024