Ecuaciones en Derivadas Parciales y Series de Fourier
(Curso
2019-20)
3º
de Matemáticas y 4º PES
(obligatoria, 6 créditos; código 1593)
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PROFESORES |
HORARIOS |
AULA |
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Gustavo Garrigós |
L 11:00-12:00 Ma 10:00-12:00 J 10:00-11:00 |
Aulario 2.08 |
PROGRAMA DEL CURSO (versión pdf, english version)
Objetivos: introducción a las ecuaciones en derivadas parciales (EDPs) y sus técnicas más clásicas de resolución, entre ellas los desarrollos en serie de Fourier. En particular, aprender a formular, analizar y resolver algunas de las EDPs más importantes, incluyendo las ecuaciones del calor, de Laplace y de ondas.
1. Ejemplos clásicos de EDPs
- La ecuación de la cuerda vibrante. Planteamiento físico. Solución de D'Alembert y método de
separación de variables. Significado de las condiciones de contorno. Propiedades básicas:
velocidad propagación finita, conservación energía.
- La ecuación del calor. Planteamiento físico. Método de resolución de Fourier. Significado de las
condiciones de contorno. Propiedades básicas: propagación infinita, conservación energía.
- La ecuación de Laplace: Significado físico. Conciones de contorno de Dirichlet y Neumann.
Cambio a coordenadas polares, y resolución por separación de variables. Propiedades: principio del
máximo, unicidad, propiedad valor medio.
2. Teoría de las series de Fourier
El concepto de serie de Fourier. Primeros ejemplos. Criterio de convergencia de Dini. Series de
Fourier en L² y fórmula de Parseval. Convoluciones. Núcleos de Dirichlet y de Féjer. Convergencia
uniforme de las medias de Césaro. Algunas aplicaciones.
3. Más sobre Ecuaciones en Derivadas Parciales
- Sistemas de Sturm-Liouville. Autovalores y bases de autofunciones. Funciones de Bessel.
- Ecuaciones de Laplace, del calor, y de la membrana vibrante en dominios rectangulares y
circulares. Significado y análisis de las soluciones.
- Ecuación de ondas en R² y R³. Fórmulas explícitas. Consecuencias: unicidad, dominio de
propagación, principio Huygens, concentración singularidades. Ecuación no homogéna y fórmula
de Duhamel.
- Otros temas: transformada de Fourier, funciones armónicas, ejemplos de EDPs no lineales,...
BIBLIOGRAFÍA
referencias básicas
I.Peral, Primer curso de Ecuaciones en Derivadas Parciales, Addison-Wesley, 1995
E.Stein, y R. Shakarchi, Fourier Analysis: An
introduction. Princeton University Press, 2003
W. Strauss, Partial Differential Equations, 2nd
Ed, Wiley 2008.
R. Churchil
y J. Brown, Fourier series and boundary value problems, 7th ed, McGraw Hill, 2008
referencias avanzadas
R.Haberman, EDPs con series de Fourier y problemas de contorno, 3ª ed., Prentice-Hall, 2003
L. Evans, Partial Differential Equations, 2nd
Ed, Amer Math Soc, 2010.
G. Folland,
Fourier Analysis and its Applications, Amer Math Soc, 2009
TUTORÍAS
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PROFESOR |
HORARIOS |
DESPACHO |
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Gustavo Garrigós |
Jueves 12:00-14:00 (concertar cita por email) |
despacho 1.10 |
Para consultas breves, podéis escribir a:
gustavo.garrigos@um.es
EVALUACIÓN
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EXAMEN |
Fechas |
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Convocatoria de junio |
Jueves, 21 mayo 2020 (m) |
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Convocatoria de julio |
Viernes, 26 de junio 2020 (t) |
NOTA: Fecha y lugar de los exámenes fijados por la Facultad de Matemáticas
Calificación final: Se obtendrá de la fórmula
max { 0’7EF + 0’3EC, EF }
donde
EF = nota examen final
EC = nota media de las pruebas de evaluación continua (tests de problemas)
Nota: Cuando la nota del examen (final o extraodinario) supere la media ponderada anterior, se aplicará la nota más favorable.
Adicionalmente, se valorará la participación del alumno mediante la resolución de ejercicios en la pizarrra.
Examen: mayo, mayo-soluc
HOJAS DE EJERCICIOS
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Ecuación de la cuerda vibrante |
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Ecuación del calor unidimensional |
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Ecuación de Laplace |
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Series de Fourier |
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Convoluciones,... |
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Ecuación de ondas 2D |
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ENLACES DE INTERÉS
· Libro "Ecuaciones en Derivadas Parciales" de Ireneo Peral (Universidad Autónoma de Madrid)
· P. Hajlasz, Non-Linear elliptic PDEs, artículo expositivo
Última modificación: 7 de mayo de 2021