Funciones de Variable Compleja (Curso 2015-16)
3º
de Matemáticas y 4º PES
(obligatoria, 6 créditos; código 1588)
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PROFESORES |
HORARIOS |
AULA |
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Gustavo Garrigós (hasta mitad noviembre) Matías Raja (desde mitad noviembre) |
L 10:00-11:00 M 13:00-14:00 (problemas) X 10:00-11:00 V 9:00-10:00 |
Aulario 2.08 |
PROGRAMA DEL CURSO (versión pdf, english version)
Objetivos: introducción a la teoría clásica de Variable Compleja, estudiando con detalle las propiedades básicas de las funciones holomorfas, y sus aplicaciones más relevantes al Análisis Matemático.
1. El plano complejo
El cuerpo de los números complejos. Representaciones gráficas. La esfera de Riemann.
2. Derivación de funciones complejas
Derivación compleja y ecuaciones de Cauchy-Riemann. Reglas básicas de funciones holomorfas. Polinomios y funciones racionales.
3. Función exponencial y determinaciones del logaritmo
Funciones exponencial, seno y coseno. Determinaciones continuas del argumento. Ramas holomorfas del logaritmo.
4. Integración compleja y teorema de Cauchy en el disco
Integral de línea compleja, regla de Barrow y existencia de primitivas. El teorema de Cauchy-Goursat. Fórmula de Cauchy en el disco y aplicaciones.
5. Series de potencias y propiedades locales de las funciones holomorfas
Series de potencias y funciones analíticas. Radios de convergencia. Propiedades locales: ceros de funciones analíticas, principio del módulo máximo...
6. Teorema homológico de Cauchy
Índice de una curva. Homología de ciclos. Teorema homológico y caracterización de dominios simplemente conexos.
7. Singularidades aisladas de funciones holomorfas
Ceros y singularidades de funciones holomorfas. Desarrollos en serie de Laurent.
8. El teorema de los residuos y sus consecuencias
Teorema de los residuos y sus aplicaciones. Principio del argumento, teorema de Rouché y aplicaciones. Teoremas de la aplicación abierta y la función inversa.
BIBLIOGRAFÍA
referencias básicas
E.M. Stein, y R. Shakarchi, Complex analysis.
Princeton University Press, 2003.
J. Brown y R. Churchill, Complex Variables and
Applications, McGraw Hill, 1984
Gabriel Vera. Lecciones de análisis complejo (apuntes y libro)
referencias
avanzadas
L.Ahlfors, Complex analysis, McGraw-Hill 1979.
J.B. Conway, Functions of one complex variable,
Springer 1978.
W. Rudin, Análisis real y complejo, 3ª ed., McGraw-Hill, 1988
TUTORÍAS
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PROFESOR |
HORARIOS |
DESPACHO |
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Gustavo Garrigós |
Jueves 12:00-14:00 (concertar cita por email) |
despacho 1.10 |
Para consultas breves, podéis escribir a:
gustavo.garrigos
‘at’ um.es
EVALUACIÓN
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EXAMEN |
Fechas |
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Convocatoria de enero |
Lunes, 25 enero 2016 (m) |
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Convocatoria de junio |
Jueves, 27 mayo 2016 (m) |
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Convocatoria de julio |
Miércoles, 7 de julio 2016 (t) |
NOTA: Fecha y lugar de los exámenes fijados por la Facultad de Matemáticas
Calificación final: Se obtendrá de la fórmula
max { 0’7EF + 0’3EC, EF }
donde
EF = nota examen final
EC = nota media de las pruebas de evaluación continua (tests de problemas)
Nota: Cuando la nota del examen (final o extraodinario) supere la media ponderada anterior, se aplicará la nota más favorable. Adicionalmente, se valorará la participación del alumno mediante la resolución de ejercicios en la pizarrra.
Soluciones: test
1, test
2, test
3, test
4, test
5,
Examen
enero: calificaciones, soluciones,
HOJAS DE EJERCICIOS
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El plano complejo |
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La derivada compleja |
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Exponencial y logaritmos |
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Fórmula integral de Cauchy |
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Hoja 5 |
Series de potencias |
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Hoja 6 |
Principios de acumulación de ceros y del módulo máximo |
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Hoja 7 |
Integrales por método de residuos |
ENLACES DE INTERÉS
· Apuntes y ejercicios de Bernardo Cascales (Univ de Murcia)
· Apuntes de Javier Pérez (Univ Granada)
· Apuntes y ejercicios de Dragan Vúkotic (Univ Autónoma Madrid)
· Apuntes de Óscar Blasco (Univ de Valencia)
Última modificación: 4 de febrero de 2016