Guia para el estudio de la teoría con la bibliografía recomendada para cada tema
1. Introducción.
Diversas formas de describir analíticamente curvas y
superficies. Curvas y superficies de nivel. Introducción a los
sistemas de coordenadas curvilíneas
Capítulo 1 de [GV], Secciones 1.4 y 2.1 de [MT]
2. Sucesiones y series de funciones.
Convergencia puntual y convergencia uniforme.
Condición de Cauchy y criterio de Weierstrass. Teoremas
sobre continuidad, derivabilidad e integrabilidad
del
límite de una sucesión de funciones. Versiones para
series.
Apéndice A de [GV] ; Secciones 9.1, 9.2,.......hasta 9.12 de [Ap1].
3. Espacios métricos y espacios normados.
Normas en R^n. Noción general de espacio normado. Normas en
C[a, b]. Normas equivalentes. Topología de un espacio
normado. Espacios completos. Conjuntos compactos.
Capítulo 2 de [GV]: Capítulo 1 de [FV1]
4. Límites y continuidad
Límite funcional. Condición de Cauchy. Continuidad en un
punto y continuidad global. Extremos de funciones reales continuas en conjuntos compactos.
Continuidad uniforme y convergencia uniforme. Espacios normados de
dimensión finita. Norma de una aplicación lineal
continua.´
Capítulo 3 de [GV]: Capítulo 2 de [FV1];
5. Integral de Riemann de funciones de varias variables.
Funciones integrables Riemann en un intervalo. Propiedades de la
integral. Integrabilidad de las funciones continuas. Conjuntos medibles
Jordan y definición
de la integral sobre estos conjuntos. Los conjuntos de contenido nulo y su papel en el cálculo
integral. Conjuntos de medida nula y caracterización de las
funciones integrables.
Capítulo 10 de [GV];
Secciones 1.2, 1.3, 1.4, 2.1, 2.2, 2.4, 2.5, 2.6 de [12];
Capítulo 14 de [Ap1] excepto la sección 14.5;
6. Técnicas de cálculo integral y aplicaciones
Integración iterada y cambio de variable.
Cálculo de integrales dobles y triples. Aplicaciones
geométricas y físicas del cálculo integral.
Capítulo 11 de [GV];
Secciones 1.6, 2.7 y 2.8 de [12];
Secciones 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.6, 6.2 y 6.3 de [MT];
7. Funciones definidas por integrales.
Integrales impropias. Paso al límite bajo la
integral. Continuidad y derivabilidad de las integrales
dependientes de un parámetro.
Capítulo 12 de [GV]
Sección 2.9 de [12]; Secciones 7.1, 7.2, 7.3, 7.4 y 7.5 de [FV1];
8. Funciones vectoriales de variable real
Cálculo diferencial para funciones vectoriales de
variable real. Teorema del incremento finito y desarrollo de
Taylor. Longitud de un arco de curva. Integral respecto al arco.
Secciones 4.1 y 4.4 en l Capítulo 4 de [GV];
Secciones 4.8 y 8.1 de [FV1] y 3.1, 3.2, 3.3 y 3.4 de [FV2];
Sección 5.13 y Capítulo 6 de [Ap1]:
9. Aplicaciones diferenciables.
Funciones de varias variables: Derivada según un vector y
derivadas parciales. Aplicaciones diferenciables. Condición
suficiente de diferenciabilidad.
Regla de la cadena. Gradiente.
Interpretaciones geométricas. Teorema del incremento finito.
Capítulo 5 de [GV];
Secciones 4.1, 4.2, 4.3, 4.5, 4.7 y 4.8 de [FV1];
Secciones 5.14, 12.1, 12.2,... hasta 12.12 de [Ap1].
10. Diferenciabilidad de orden superior.
Funciones varias veces diferenciables. Derivadas parciales de orden
superior. Permutabilidad del orden de las derivaciones.
Desarrollo de
Taylor para funciones de varias variables. Funciones convexas.
Secciones 6.1, 7.1, 7.2, 7.3, 7.4 y 6.3 en Capítulos 6 y Capítulo 7 de [GV];
Secciones [4.4, 4.6, 4.7 y 4.9 de [FV1];
Secciones 12.13 y 12,14 de [Ap1].
11. Funciones inversas e implícitas.
Teorema de la función inversa. Cambios de variable
y coordenadas curvilíneas. Funciones implícitas.
Noción de subvariedad diferenciable de Rn. Espacio
tangente.
Capítulo 8 y la sección 9.1 en el Capítulo 9 de [GV];
Secciones 13.1, 13, 2, 13,3 y 13.4 de [Ap1];
Secciones 5.1, 5.3 ... hasta 5.9 de [FV1].
12. Optimización.
Extremos sin restricciones. Extremos condicionados: Método de
los multiplicadores de Lagrange. Aplicaciones geométricas.
Sección 6.2 en Capítulo 6 y Sección 9.2 en Capítulo 9 de [GV]];
Secciones 13.6, 13.7 de [Ap1];
Secciones 3.3, 3.4 3.6 de [MT];
13. Integral de línea.
Campos de vectores y formas diferenciales. Integración
curvilínea: Independencia del camino y existencia de
función potencial. Teorema de Green. Aplicaciones.
Sección 4.5 en Capítulo 4 y Capítulo 13 de [GV];
Capítulos 10 y 11 de [Ap2]
Capítulo 6 de [FV1];
Secciones 7.1, 7.2,8.1,y 8.3 de [MT].
14. Cálculo vectorial.
Área
de una superficie. Integración de funciones sobre superficies.
Integración de campos y formas diferenciales sobre superficies.
Teoremas clásicos del Análisis Vectorial.
Secciones 4.3, 4.4, 7.4, 7.5, 8.2, 8.4 8.5 y 8.6 de [MT];
Capítulo 12 de [Ap2]
Capítulos 5 y 6 de [FV2];
Capítulo 14 de [GV].
Referencias
[Ap1] T. A. Apostol. Análisis Matemático. Reverté, Barcelona, seg. edition, 1976.
[Ap2] T. A. Apostol. Calculus Vol II . Reverté, Barcelona, seg. edition, 1986.
[MT] J. E. Mardsen y A. J. Tromba. Cálculo Vectorial. Pearson, 1998.
[FV1]
J. A. Fernández Viña. Análisis Matemático
II (Topología y Cálculo Diferencial. Tecnos, 1992.
[FV2]
J. A. Fernández Viña. Análisis Matemático
II. (Integración y cálculo exterior). Tecnos, 1992.
[GV] G. Vera. Lecciones de Análisis Matemático. En este portal