Funciones de Variable Compleja (Curso 2014-15)
3º de Matemáticas y 4º PES

 (obligatoria, 6 créditos; código 1588)

PROGRAMA DEL CURSO (versión pdf, english version)

Objetivos: introducción a la teoría clásica de Variable Compleja, estudiando con detalle las propiedades básicas de las funciones holomorfas, y sus aplicaciones más relevantes al Análisis Matemático.

1. El plano complejo

El cuerpo de los números complejos. Representaciones gráficas. La esfera de Riemann.

2. Derivación de funciones complejas

Derivación compleja y ecuaciones de Cauchy-Riemann. Reglas básicas de funciones holomorfas.

Polinomios y funciones racionales.

3. Función exponencial y determinaciones del logaritmo

Funciones exponencial, seno y coseno. Determinaciones continuas del argumento. Ramas holomorfas del logaritmo.

4. Integración compleja y teorema de Cauchy en el disco

Integral de línea compleja, regla de Barrow y existencia de primitivas. El teorema de Cauchy-Goursat. Fórmula de Cauchy en el disco y aplicaciones.

5. Series de potencias y propiedades locales de las funciones holomorfas

Series de potencias y funciones analíticas. Radios de convergencia. Propiedades locales: ceros de

funciones analíticas, desigualdades de Cauchy, principio del módulo máximo...

6. Teorema homológico de Cauchy

Índice de una curva. Homología de ciclos. Teorema homológico y caracterización de dominios

simplemente conexos.

7. Singularidades aisladas de funciones holomorfas

Ceros y singularidades de funciones holomorfas. Desarrollos en serie de Laurent.

8. El teorema de los residuos y sus consecuencias

Teorema de los residuos y sus aplicaciones. Principio del argumento, teorema de Rouché y aplicaciones. Teoremas de la aplicación abierta y la función inversa.

BIBLIOGRAFÍA

E.M. Stein, y R. Shakarchi, Complex analysis. Princeton University Press, 2003.

L.Ahlfors, Complex analysis, McGraw-Hill 1979.

J.B. Conway, Functions of one complex variable, Springer 1978.

W. Rudin, Análisis real y complejo, 3ª ed., McGraw-Hill, 1988

R. Churchil y J. Brown, Complex Variables and Applications, McGraw Hill, 1984

Gabriel Vera. Lecciones de análisis complejo (apuntes y libro)

TUTORÍAS

Para consultas breves, podéis escribir a:
gustavo.garrigos ‘at’ um.es

EVALUACIÓN

NOTA: Fecha y lugar  de los exámenes fijados por la Facultad de Matemáticas

Calificación final: Se obtendrá de la fórmula

                                                        max { 0’7EF + 0’3EC, EF }

donde

EF = nota examen final

EC = nota media de las pruebas de evaluación continua (tests de problemas)

Nota: Cuando la nota del examen (final o extraodinario) supere la media ponderada anterior, se aplicará la nota más favorable. Adicionalmente, se valorará la participación del alumno mediante la resolución de ejercicios en la pizarrra.

Tests de problemas: Test 1, Test 2

Lista de demostraciones de teoremas que podrían preguntarse en el examen: lista enero,

Examen de enero: soluciones, notas

HOJAS DE EJERCICIOS

ENLACES DE INTERÉS

• Apuntes y ejercicios de Bernardo Cascales (Univ de Murcia)

• Apuntes de Javier Pérez (Univ Granada)

• Apuntes y ejercicios de Dragan Vúkotic (Univ Autónoma Madrid)

• Apuntes de Óscar Blasco (Univ de Valencia)

Última modificación: 19 de enero de 2015